92牛顿—莱布尼兹公式.ppt

* 2 牛顿-莱布尼兹公式 用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。 定理9.1 若函数 在 上连续， ，则 在 上可积，且 这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为 。 且存在原函数 证： 由定积分定义，任给 ，要证存在 当 时，有 事实上，对于 的任一分割 在每个小区间 上对 使用拉格朗日中值 定理， 使得： 则分别存在 因为 在 上连续，从而一致连续，所以对上述 ，存在 当 且 时，有： 于是，当 时，任取 便有 ，这就证得 所以 上可积，且有公式成立 在 注1 ：在应用牛顿-莱布尼茨公式时， 可由积分 法求得。 注2： 定理条件尚可削减，例如： 1）对 的要求可削减为：在 上连续，在 内可导，且 2）对 的要求可削减为：在 上可积。这 时（2）式仍成立，且由 上可积， 在 （2）式右边当 时的极限就是 而左边恒为一常数。 例1 利用 牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分： （n为正整数） 例2 利用定积分求极限： 解： 把此极限式化为某个积分和的极限式，并 转化为计算定积分。为此作如下变形： 不难看出，其中的和式是函数 在区间 上的一个积分和（这里所取的是等分分割）， 所以： 注：也可以把J看作 在 上的定积分， 同样有： 解 面积