91平面的基本性质三.doc

9.1平面的基本性质(三) 教学目的： 1.理解公理三的三个推论. 2.进一步掌握“点线共面”的证明方法. 3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平． 4．通过公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力． 教学重点：用反证法和同一法证明命题的思路． 教学难点：对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式． 授课类型：新授课. 课时安排：1课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程： 一、复习引入： 1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性. 2．平面的画法及其表示方法： ①常用平行四边形表示平面.通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍.画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画. ②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等. 3．空间图形是由点、线、面组成的. 点、线、面的基本位置关系如下表所示： 图形 符号语言 文字语言（读法） 点在直线上. 点不在直线上. 点在平面内. 点不在平面内. 直线、交于点. 直线在平面内. 直线与平面无公共点. 直线与平面交于点. 平面、相交于直线. （平面外的直线）表示或 4.平面的基本性质 公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 推理模式：．如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面． 1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 推理模式：且且唯一.如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上. 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法． 公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推理模式：不共线存在唯一的平面，使得. 应用：①确定平面；②证明两个平面重合. “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 5.平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形. 二、讲解新课： 推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 已知：直线，点是直线外一点. 求证：过点和直线有且只有一个平面. 证明：（存在性）：在直线上任取两点、， ∵，∴不共线． 由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面， ∵点在平面内，根据公理1， ∴，即平面是经过直线和点的平面. （唯一性）：∵，，，∴点， 由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个， 所以，经过和点的平面只有一个. 推理模式：存在唯一的平面，使得，. 推论2经过两条相交直线有且只有一个平面. 已知：直线. 求证：过直线和直线有且只有一个平面. 证明：（存在性）：在直线上任取两点A，直线上， ∵，∴不共线． 由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面， ∵点在平面内，根据公理1， ∴，即平面是经过直线和直线的平面. （唯一性）：∵，，， ∴点， 由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个， 所以，经过直线和直线的平面只有一个. 推理模式：存在唯一的平面，使得. 推论3经过两条平行直线有且只有一个平面. 已知：直线. 求证：过直线和直线有且只有一个平面. 证明：（存在性）： ∵∴由平行线的定义，直线和直线在同一个平面内， 即平面是经过直线和直线的平面. （唯一性）：取，， ∵∴点A,B,C不共线且， 由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个， 所以，经过直线和直线的平面只有一个. 推理模式：存在唯一的平面，使得. 三、讲解范例： 例1两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知：直线两两相交，交点分别为. 求证：直线共面. 证法一：∵直线，∴直线和可确定平面， ∵，，∴，， ∴，即 即直线共面. 证法二：因为A直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1） 因为A∈α，B∈BC，所以B∈α．故ABα， 同理ACα， 所以AB，AC，BC共面． 证法三： 因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α