9条件概率.ppt

我们说，在事件B发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于A的无条件概率. 但是，会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？ 我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握. * * 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 一、条件概率 1. 条件概率的概念 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A) P(A )=1/6， 例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A|B)=？ 掷骰子 已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B， 于是P(A|B)= 1/3. B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中， 容易看到 P(A|B) P(A )=3/10， 又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记 B={取到正品} A={取到一等品}， P(A|B) P(A )=3/10， B={取到正品} P(A|B)=3/7 本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例. A={取到一等品}， 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件. 这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题. 若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1). 设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1) 2. 条件概率的定义 为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率. 3. 条件概率的性质(自行验证) 设B是一事件，且P(B)0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P (S | B) =1 ； 3.设A1,…,An互不相容，则 P[(A1+…+An )| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B) 而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率. 请自行写出. 2)从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: P(B)0 掷骰子 例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} P(A|B）= B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数 例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1: 解法2: 解: 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 应用定义 在B发生后的 缩减样本空间 中计算 例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？ 解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4 所求为P(B|A) . 由条件概率的定义： 即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 而 P(AB)=P(BA) 二、 乘法公式 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 将A、B的位置对调，有 故 若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3) 若 P(A)0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和(3)式都称为 乘法公式, 利 用它们可计算两 个事件同时发生 的概率 注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子 例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 所求为P(AB). 甲、乙共生产 1000 个 189个是 标准件 300个 乙厂生产 300个 乙厂生产 设B={零件是乙厂生产} A={是标准件} 所求为P(AB) . 设B={零件是乙厂生产} A={是标准件} 若改为“发现它是乙