;11正弦定理.doc

§1.1正弦定理 教学目标 （1）要求学生掌握正弦定理及其证明； （2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识； （3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 教学重点，难点 正弦定理的推导及其证明过程． 教学过程 一．问题情境 在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？ 我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？ 探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在中，设，则 ， ， ， 即：， ， ， ． 探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？ 探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设为最大角，若为直角，我们已经证得结论成立，如何证明为锐角、钝角时结论也成立？ 证法1 若为锐角（图（1）），过点作于，此时有，，所以，即．同理可得， 所以． 若为钝角（图（2）），过点作，交的延长线于，此时也有，且．同样可得．综上可知，结论成立． 证法2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高、、，则，，．所以，每项同除以即得：． 探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？ 在中，有．设为最大角，过点作于（图（3）），于是．设与的夹角为， 则，其中 ，当为锐角或直角时，； 当为钝角时，． 故可得， 即． 同理可得． 因此． 四．数学运用 1．例题： 例1．在中，，，，求，． 解：因为，，所以．因为， 所以，． 因此， ，的长分别为和． 例2．根据下列条件解三角形： （1）； （2）． 解：（1），∴， ，∴，∴为锐角， ∴，∴． （2），∴，∴， ∴当； ∴当； 所以，． 说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 练习：在中，，，，求和． 说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 2．练习： （1）在中，已知，，，则 ， ． （2）在中，如果，，，那么 ，的面积是 ． （3）在中，，，则 ． 五．回顾小结： 1．用两种方法证明了正弦定理： （1）转化为直角三角形中的边角关系； （2）利用向量的数量积． 2．初步应用正弦定理解斜三角形．