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§2 常数项级数的审敛法 【目的要求】 1、理解正项级数的定义、性质、收敛的充分必要条件； 2、掌握三种判别法使用区别． 3、了解绝对收敛与条件收敛等概念； 4、熟练掌握交错级数收敛的判别法； 5、熟练掌握绝对收敛与条件收敛的判别法． 【重点难点】 正项级数的特有性质及判别法． 区分绝对收敛与条件收敛． 【教学内容】 一般的常数项级数, 它的各项可以是正数、负数或者零. 现在我们先讨论各项都是非负的级数——正项级数. 这种级数特别重要, 以后将看到许多级数的敛散性问题可归结为正项级数的收敛性问题. 一、 正项级数及其审敛法 定义 2.1 若级数的各项均非负, 即, 则称该级数为正项级数( 设级数 (1) 是一个正项级数, 它的部分和为. 显然, 数列是一个单调递增数列. 如果数列有界, 根据单调有界的数列必有极限的准则, 级数(1)必收敛于. 反之, 如果正项级数(1)收敛于, 即, 根据有极限的数列是有界数列的性质可知, 数列有界. 因此, 我们得到如下重要的结论. 定理2.1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界( 由定理2.1 可知, 如果正项级数发散, 则它的部分和数列(), 即 由此, 可得关于正项级数的一个基本的审敛法. 定理 2.2 (比较审敛法) 设和都是正项级数( 且 (). 若级数收敛( 则级数收敛( 反之( 若级数发散( 则级数发散( 证 设级数收敛于和( 则级数的部分和 即部分和数列有界( 由定理2.1 知级数收敛( 反之( 设级数发散( 则级数必发散( 因为若级数收敛( 由上已证明的结论( 将有级数也收敛( 与假设矛盾( 推论 设和都是正项级数( 如果级数收敛( 且存在自然数( 使当时, 有 ()成立( 则级数收敛( 如果级数发散( 且当时, 有 ()成立( 则级数发散( 例1 讨论p(级数 的收敛性( 其中常数( 解 设( 这时( 而调和级数发散( 由比较审敛法知( 当时级数发散( 设, 且时( 有 ()( 对于级数( 其部分和 ( 因为( 所以级数收敛( 从而根据比较审敛法的推论可知( 级数当时收敛( 综上所述( -级数当时收敛( 当时发散( 例2 证明级数是发散的( 证 因为( 而级数是发散的( 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的( 定理 2.3 (比较审敛法的极限形式) 设和都是正项级数( , 且, 则 (1) 当时( 级数与同时收敛或同时发散( (2) 当时, 若级数收敛( 则级数收敛; 若发散, 则发散. (3) 当时, 若级数发散( 则级数发散; 若收敛, 则收敛. 例3 判别级数的收敛性( 解 因为( 而级数发散( 根据比较审敛法的极限形式( 级数发散( 例4 判别级数的收敛性( 解 因为( 而级数收敛( 根据比较审敛法的极限形式( 级数收敛( 定理 2.4 (比值审敛法( 达朗贝尔判别法) 设为正项级数( 对任意, 有( 则 (1) 当时, 级数收敛( (2) 当时, 级数发散( (3) 当时, 级数可能收敛也可能发散( 例5 证明级数是收敛的( 解 因为( 根据比值审敛法可知所给级数收敛( 例6 判别级数的收敛性( 解 因为( 根据比值审敛法可知所给级数发散( 例7 判别级数的收敛性( 解 ( 这时( 比值审敛法失效( 必须用其它方法来判别级数的收敛性( 因为( 而级数收敛( 因此由比较审敛法可知所给级数收敛( 定理 2.5 (根值审敛法( 柯西判别法) 设是正项级数( 且 ( 则 (1) 当时, 级数收敛( (2) 当时, 级数发散( (3) 当时, 级数可能收敛也可能发散( 例8 证明级数是收敛的, 并估计以级数的部分和近似代替和所产生的误差( 解 因为( 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛( 以这级数的部分和近似代替和所产生的误差为 ( ( 例9 判定级数的收敛性( 解 因为 ( 所以( 根据根值审敛法