;2 无穷积分的性质与收敛判别法.doc

§2? 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目标：掌握无穷积分的性质与收敛判别准则． 教学内容：无穷积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法． (1) 基本要求：掌握无穷积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分的敛散性． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议： (1) 本节的重点是掌握判别无穷积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分的敛散性． (2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题． (3)举例说明：当收敛时，不一定有，由此使学生对柯西准则有进一步的理解． 教学过程： 一、无穷积分的性质: ??⑴? 在区间 上可积 , — Const , 则函数在区间 上可积 , ??? 且 .?????????????????????? ??⑵? 和在区间 上可积 , ?在区间 ???? 上可积 , 且?? . ??⑶?? 无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译 ) ??定理?? 积分 ?收敛 . ? ⑷?? 绝对收敛与条件收敛: 定义概念. ? 绝对收敛 ?收敛, ( 证 )???? 但反之不确.? 绝对型积分与非绝对型积分 。 二、无穷积分收敛判别法 非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法. ?? ⑴?? 比较判敛法:??? 设在区间 上函数和非负且 ?，又对任何, 和在区间 上可积 .? 则 ???????? , ? ； , 牋 .? ( 证 ) ?例1、?? 判断积分 的敛散性.???????????????????? ?比较原则的极限形式 : 设在区间 上函数,. 则 ⅰ?? ? ?,牋 ?牋? ?与? ?共敛散 :????????????????????? ?ⅱ?? , 牋 ? 时, ；???? ?ⅲ?? ,牋 ?牋牋?时, .牋?牋? ????证 ) ? ⑵??? Cauchy判敛法:? ( 以为比较对象, 即取.以下 0 ) ?对任何, ,? 且, ； ?且, ?. ?Cauchy判敛法的极限形式 :? 设是在任何有限区间上可积的正值函数. 且 ?. 则 ⅰ?? ； ⅱ?? ?.???? ??????( 证 ) 例2、?? 讨论以下无穷积分的敛散性 : ?ⅰ? ?????ⅱ?? ????[1]P324 E6 ?⑶?? 其他判敛法:????? ?Abel判敛法:? 若在区间 上可积 , 单调有界 , 则积分 ?收敛. ?Dirichlet判敛法:? 设在区间 上有界 ，在 ?上单调，且当时，. 则积分收敛. ?例3、??讨论无穷积分与的敛散性.? [1]P325 E7 ?例4、?? 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 : ??????????? ,???? ,????? .??????? [1]P326 E8 ?例5、?? ( 乘积不可积的例 )? 设, . 由例6的结果, ??积分收敛 . 但积分却发散.( 参阅例6 ) ? ? 作业： P275：1，2，3，4，5. 《数学分析》教案 第十一章 反常积分 石家庄经济学院数理学院 1