;2 换元积分法.doc

§2 换元积分法 【目的要求】 1、理解凑微分求不定积分的意义； 2、熟练掌握凑微分求不定积分的技巧； 3、理解第二换元法求不定积分的意义； 4、熟练掌握三角代换法、倒代换法、其它代换法． 【重点难点】 1、如何凑微分； 2、凑微分求不定积分的技巧； 3、第二换元法求不定积分的技巧． 【教学内容】 前面所讨论的直接积分法求不定积分是对较简单的初等函数而言的．对于较复杂被积函数的积分，仅有上述基本积分公式是不够的，即使象这样一些基本初等函数，现在还不知道怎样去求得它们的原函数．所以我们还需要从一些求导法则中去导出相应的不定积分的法则，并逐步扩充不定积分公式． 利用中间变量的代换，将不定积分化为复合函数的不定积分而求得原不定积分的方法，称为换元积分法，简称换元法． 换元法分第一换元法（凑微分法）和第二类换元法． 一、第一类换元法（凑微分法） 设具有原函数，即 . 如果是中间变量：，且设可微，那么根据复合函数微分法，有 ， 从而由不定积分的定义可得 . 于是有以下定理 定理 2.1 设具有原函数，可导，则有换元公式 . 第一类换元积分法基本思路，可以写成 . 例 1 计算. 解 因为，得 . 原式 = =. 例 2 计算. 解 因为，得. 原式 . 有上述例题可见，积分可用基本积分公式较容易求得，才能用第一类换元法.由于第一类换元法的核心是被积函数凑成微分形式，故第一类换元法通常又称为凑微分法. 在对此法熟悉后，换原变量可以不设出，即可以省略运算过程中的“作变换”和“代换回原自变量”的步骤. 如例2?中的解题过程可简化为 . 例 3 求不定积分. 解 . 例 4 求不定积分. 解 = 例 5 求不定积分. 解 . 如果的原函数为，则. 我们经常使用的凑微分有下列情形： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) =； (9) ； (10) . 有些不定积分，初看不具有导数联系，但是略加变形，便可以写成两个因子的乘积. 例 6 求. 解 原式==, 同理 . 例 7 求. 解 原式= . 同理 . 例 8 求不定积分. 解 原式=， 同理 . 例 9 求不定积分. 解 = = =. 需注意有时同一个不定积分，用不同的换元法会得到不同结果. 例 10 求不定积分. 解法一 . 解法二 . 解法三 . 读者可以验证着三个结果是等价的，但同时也恰恰说明了不定积分的结果形 式不唯一. 例 11 求不定积分. 解 因为，而， 所以 . 注意：一般地，形如的不定积分，可将分子中一次项凑成分母的导数，然后将原积分折成二项．其中第一项等于，第二项通过分母配方后，再代用公式. 例 12 求不定积分. 解 令，则，.于是 . 由例6、例7、例8可得到公式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) . 例 13 求不定积分. 解 . 例 14 计算下列积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解 (1) . (2) . (3) . (4) . 由上例可见，用第一类换元法解题的关键是将被积表达式写成，进而凑成形式，然后利用积分公式求出原函数. 二、第二类换元法 定理 2.2 对于不定积分，若所作变量代换可导，且.又设具有原函数，则有 . 第二类换元积分法基本思路是：通过适当的变量代换把化为容易求出的不定积分，然后再把代已以求出的不定积分. 注意确保存在反函数. 1. 三角代换 例 15 求 . 解 求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式来化去根式. 设，，那么， ，于是根式化成了三角式，所求积分化为 . 而 . 从而 =. 由于，，所以 ， ， 于是所求积分为. 例 16 求. 解 可以利用三角公式 来化去根式. 设，那么 ， 于是 . 利用例7的结果得 . 为了要把及换成的函数，可以根据作辅助三角形（图5-1），便有 ， 且，因此， ， 其中. 例 17 求. 解 可以利用公式 来化去根式.注意到被积函数的定