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;22 对数函数

§2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算 1.对数的概念 一般地,如果ax=N (a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 说明:(1)实质上,上述对数表达式,不过是指数函数y=ax的另一种表达形式,例如:34=81与4=log381这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式ax=Nx=logaN,从而得对数恒等式:alogaN=N. (2)“log”同“+”“×”“”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. (3)根据对数的定义,对数logaN(a0,且a≠1)具有下列性质: ①零和负数没有对数,即N0; ②1的对数为零,即loga1=0; ③底的对数等于1,即logaa=1. 2.对数的运算法则 利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然.这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度. (1)基本公式 ①loga(MN)=logaM+logaN (a0,a≠1,M0,N0),即正数的积的对数,等于同一底数的各个因数的对数的和. ②loga=logaM-logaN (a0,a≠1,M0,N0),即两个正数的商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数. ③logaMn=n·logaM (a0,a≠1,M0,n∈R),即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数. (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意M0,N0,例如loga[(-3)×(-4)]是存在的,但是loga(-3)与loga(-4)均不存在,故不能写成loga[(-3)×(-4)]=loga(-3)+loga(-4). ②防止出现以下错误:loga(M±N)=logaM±logaN,loga(M·N)=logaM·logaN,loga=,logaMn=(logaM)n. 3.对数换底公式 在实际应用中,常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底公式:logbN= (b0,且b≠1;c0,且c≠1;N0). 证明 设logbN=x,则bx=N.两边取以c为底的对数, 得xlogcb=logcN.所以x=,即logbN=. 换底公式体现了对数运算中一种常用的转化,即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数,这是数学转化思想的具体应用. 由换底公式可推出下面两个常用公式: (1)logbN=或logbN·logNb=1 (N0,且N≠1;b0,且b≠1); (2)logbnNm=logbN(N0;b0,且b≠1;n≠0,m∈R).    题型一 正确理解对数运算性质 对于a0且a≠1,下列说法中,正确的是(  ) ①若M=N,则logaM=logaN; ②若logaM=logaN,则M=N; ③若logaM2=logaN2,则M=N; ④若M=N,则logaM2=logaN2. A.①与③  B.②与④  C.②    D.①、②、③、④ 解析 在①中,当M=N≤0时,logaM与logaN均无意义,因此logaM=logaN不成立. 在②中,当logaM=logaN时,必有M0,N0,且M=N,因此M=N成立. 在③中,当logaM2=logaN2时,有M≠0,N≠0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N.例如,M=2,N=-2时,也有logaM2=logaN2,但M≠N. 在④中,若M=N=0,则logaM2与logaN2均无意义,因此logaM2=logaN2不成立. 所以,只有②成立. 答案 C 点评 正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件,使用运算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件.    题型二 对数运算性质的应用 求下列各式的值: (1)2log32-log3+log38-5log53; (2)lg25+lg8+lg5·lg20+(lg2)2; (3). 分析 利用对数的性质求值,首先要明确解题目标是化异为同,先使各项底数相同,才能使用性质,再找真数间的联系,对于复杂的真数,可以先化简再计算. 解 (1)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3 =2log32-5log32+2+3log32-3=-1. (2)原式=2lg5+2lg2+lg·lg(2×10)+(lg2)2 =2lg(5×2)+(1-lg2)·(lg2+1)+(lg2)2 =2+1-(lg2)2+(lg2)2=3. (3)∵= =-=-. 点评 对数的求值方法一般有两种:一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化

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