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§2.2　对数函数 2．2.1　对数与对数运算 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N (a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝Nx＝logaN，从而得对数恒等式：alogaN＝N. (2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面． (3)根据对数的定义，对数logaN(a0，且a≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N0； ②1的对数为零，即loga1＝0； ③底的对数等于1，即logaa＝1. 2．对数的运算法则 利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度． (1)基本公式 ①loga(MN)＝logaM＋logaN (a0，a≠1，M0，N0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和． ②loga＝logaM－logaN (a0，a≠1，M0，N0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数． ③logaMn＝n·logaM (a0，a≠1，M0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数． (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意M0，N0，例如loga[(－3)×(－4)]是存在的，但是loga(－3)与loga(－4)均不存在，故不能写成loga[(－3)×(－4)]＝loga(－3)＋loga(－4)． ②防止出现以下错误：loga(M±N)＝logaM±logaN，loga(M·N)＝logaM·logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n. 3．对数换底公式 在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN＝ (b0，且b≠1；c0，且c≠1；N0)． 证明　设logbN＝x，则bx＝N.两边取以c为底的对数， 得xlogcb＝logcN.所以x＝，即logbN＝. 换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用． 由换底公式可推出下面两个常用公式： (1)logbN＝或logbN·logNb＝1 (N0，且N≠1；b0，且b≠1)； (2)logbnNm＝logbN(N0；b0，且b≠1；n≠0，m∈R). 　　　题型一　正确理解对数运算性质 对于a0且a≠1，下列说法中，正确的是(　　) ①若M＝N，则logaM＝logaN； ②若logaM＝logaN，则M＝N； ③若logaM2＝logaN2，则M＝N； ④若M＝N，则logaM2＝logaN2. A．①与③　　B．②与④　　C．②　　　　D．①、②、③、④ 解析　在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立． 在②中，当logaM＝logaN时，必有M0，N0，且M＝N，因此M＝N成立． 在③中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.例如，M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N. 在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立． 所以，只有②成立． 答案　C 点评　正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件． 　　　题型二　对数运算性质的应用 求下列各式的值： (1)2log32－log3＋log38－5log53； (2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2； (3). 分析　利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算． 解　(1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3 ＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg·lg(2×10)＋(lg2)2 ＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3. (3)∵＝ ＝－＝－. 点评　对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化