;243 傅立叶变换的性质.ppt

北京工业大学机电学院 §2.4.3 傅立叶变换的性质 对称性（亦称对偶性） 线性 尺度变换性 奇偶性 时移性 频移性（亦称调制性） 卷积 时域微分和积分 频域微分和积分 对称性(亦称对偶性) 若有 则有 (2.67) 2. 线性 如果有 则 (2.68) 和 §2.4.3 傅立叶变换的性质 3. 尺度变换性 (2.69) 如果有 则对于实常数 a ，有 若信号 在时间轴上被压缩至原信号的 ，则其频谱函数在频率轴上将展宽 倍，而其幅值相应地减至原信号幅值的 。（尺度变换性或时频展缩性） 信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比。 §2.4.3 傅立叶变换的性质 图2.29 窗函数的尺度变换(a=3) §2.4.3 傅立叶变换的性质 3. 尺度变换性 4. 奇偶性 (2.73) (2.74) (2.72) (4) 为时间 的虚函数 (3) 傅立叶变换的反转性( 为实函数 ): 为时间 的实偶函数( )， 为 的实偶 函数； 为时间 的实奇函数( )， 为 的虚 奇函数; §2.4.3 傅立叶变换的性质 5. 时移性 如果有 则 (2.75) 例8 求图2.30矩形脉冲函数的频谱。 §2.4.3 傅立叶变换的性质 5. 时移性 解：该函数的表达式可写为 可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至t0点位置所形成。 幅频谱和相频谱分别为 则 §2.4.3 傅立叶变换的性质 图2.31 具有时移的矩形脉冲函数的幅频和相频谱图形 幅频谱不因为有时移而有任何改变，时移产生的效果仅仅是相位谱增加了一个随频率呈线性变化的项。 §2.4.3 傅立叶变换的性质 6. 频移性(亦称调制性) (2.76) 时间信号经过调制后的频谱等于将调制前原信号的频谱进行频移，使得原信号频谱的一半的中心位于ω0处，另一半位于-ω0处。 §2.4.3 傅立叶变换的性质 如果有 则 ω0——常数。 图2.33 x(t)cosω0t 的频谱 6. 频移性(亦称调制性) §2.4.3 傅立叶变换的性质 §2.4.3 傅立叶变换的性质 7. 卷积 (2.79) 时域卷积 如果有 则 式中 x(t)*h(t) 表示 x(t) 与 h(t) 的卷积。 (2.81) 频域卷积 如果有 则 证明：（时域卷积）根据卷积积分的定义有 其傅里叶变换为 由时移性知， 代入上式得 (2.80) §2.4.3 傅立叶变换的性质 图2.34 卷积的图解 §2.4.3 傅立叶变换的性质 时域微分和积分 如果有 则 条件是X(0)=0。 证明：(1) n阶微分的傅里叶变换公式： (2.88) §2.4.3 傅立叶变换的性质 §2.4.3 傅立叶变换的性质 (2) 设函数g(t)为 其傅里叶变换为G(ω)。由于 利用(2.87)得 或 亦即 9. 频域微分和积分 如果有 则 进而可扩展为 和 式中 若x(0)=0，则有 (2.91) (2.92) (2.93) (2.94) §2.4.3 傅立叶变换的性质 §2.4 .4 功率信号的傅里叶变换 (2.95) 只有满足狄里赫利条件的信号才具有傅里叶变换，即 有限平均功率信号，它们在(-∞, ∞)区域上的能量可能趋近于无穷，但它们的功率是有限的，即满足 利用δ函数和某些高阶奇异函数的傅立叶变换来实现这些函数的傅立叶变换。 §2.4 非周期信号的频域描述 1. 单位脉冲函数 (2.96) (2.97) 在Δ时间内激发有一矩形脉冲pΔ(t)的幅值为1/Δ，面积为1。当Δ→0时，该矩形脉冲pΔ(t)的极限便称为单位脉冲函数或δ函数。 性质： (1) (2) 由δ函数的两条性质式(2.96)和(2.97) ，可得 其中x(t)在t=t0时是连续的。 单位脉冲函数δ(t)的傅里叶变换 ： 即 (2.99) (2.100) 图2.37 δ(t)及其傅里叶变换 §2.4 非周期信号的频域描述 §2.4 非周期信号的频域描述 时移单位脉冲函数δ(t-t0)的傅里叶变换对： 常数1的傅里叶变换对： §2.4 非周期信号的频域描述 单位脉冲函数δ(t)与任一函数x(t)的卷积 (2.105) (2.106) 证明： 推广可得 北京工业大学机电学院