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§2.5 初等变换和初等矩阵 矩阵的初等变换是处理矩阵问题的一种基本方 法，它在化简矩阵、解线性方程组、求矩阵的逆和求 矩阵的秩等诸多领域发挥着重要作用。 2.5.1 矩阵的初等变换 定义2.10 矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵实行的下列变换： （1）互换矩阵的第i行（列）与第 j行（列）的位 置，记为 ； （2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）,记为 （3）将矩阵的第 行（列）元素的 倍加到第 行 （列）上，记为 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩 阵的初等变换。 定理2.3 设 A是一个 矩阵，通过行初等变换可以把 A 化为如下的形式： 其中 上面的矩阵我们称之为行阶梯形矩阵。其定如下： 定义2.11 一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一行开始，每行第一个非零元素前面零点个数逐行增加，一旦出现零行，则后面各行 （若还有的话）都是零行。 例如 都是行阶梯形 矩阵。 进一步，用行初等变换可把矩阵化为如下 的行标准形： 所谓行标准形即行阶梯形矩阵中非零行第 一个非零元素为1，且其所对应的列的其他元素都是零。 例如 为行标准形。 通过行初等变换和列初等变换，可以把任 何矩阵化为最简单的形式： 上式称为矩阵的标准形。 例18 设 （1）用行初等变换把A化为行阶梯形矩阵，进 一步化为行标准形； （2）再用列初等变换将其化为标准形。 解 用记号 表示对A做初等变换，施行行 初等变换写在 的上方，施行列初等变换写在 的下方。 （1） （行标准形） （2） 2.5.2 初等矩阵 为了便于叙述用初等变换处理矩阵问题， 我们将通过分块矩阵的乘法建立矩阵的初等变 换与矩阵乘法的联系，为此引入 定义2.12 对单位矩阵I 施行一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵. （1）交换 的第 行与第 行，得到的矩阵记为 ，即 （2）用一个非零数k乘 的第 行，得到的矩阵记为 。 即 （3）将矩阵 的第 行的k倍加到第i行上，得到的矩阵记为 ，即 同样地，用列初等变换可以得到相应的三 类初等矩阵 和 。不过，这些初等矩阵 可以包含在上面介绍的三种初等矩阵之中。它 们有如下的关系： 由行列式的性质，立即知道上面矩阵的行列式皆不为零，因此初等矩阵是可逆矩阵，而且它们的逆矩阵为 可见初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵。 定理2.4 对矩阵 A施行一次行初等变化, 相当于用相应的初等矩阵左乘 A，对矩阵A施 行一次列初等变换，相当于用相应的初等矩阵右乘 A。 证明略。 例如，设 ，把 A的第一行的k倍加到第三行上，得 而 因为 ，由定理2.4知，存在 初等矩阵 及 ，使 ， 令 ， , 则 与 皆可逆，且 （2.11） 定义2.13 若矩阵 A经过行（列）初等变换可化为 B，则称 A与 B行（列）等价。若矩阵A