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§2距离空间中的点集及其上的映射 2.1 几类特殊的点 定义2.1 距离空间 中的点集 叫做以 为中心，以 为半径的开球，这里 是 中一个给定的 点。如果在（1）中将“ ”换成“ ”，则相应的点集 叫做以 为中心、以 为半径的闭球。 上述开球与闭球分别用 表示。以 为中心、以正数 为半径的开球又 称为 的一个球形区域，简称邻域。 定义2.2 设 是一个距离空间。 ，如果存在 的某个 领域 ，则称 是 的内点。 的全部内点构成的集合记 为 ，称为 的内部。如果 中的每个点都是它的内点，则称 为开集。 空集规定为开集。 注意：· 中的任何开集一定是某些开集（可能无穷多个）的 并，而任何一个开球本身也是开集。 ·如果 是集合 （ 未必是开集）的内点，我们也称 是的一个 邻域。 定理2.1 设是距离空间，则 （ⅰ）空间 与空集 都是开集； （ⅱ）任意多个开集的并是开集； （ⅲ）有限多个开集的交是开集。 证明略。 定义2.3 设是 距离空间， ，点 叫做 的聚点或 极限点，是指对任给的 ， 的邻域 中含有 中的异 于 的点，即 如果 但不是 的聚点，则称为的孤立点。 集合 及其全部聚点构成的集合称为 的闭包，记为 如果 ，则称 为闭集。 注意：·内点与孤立点必属于集合 ，聚点可能属于 ，也 可能不属于 。 ·聚点与孤立点是两个不相容的概念。 ·一个开集恰好由它的全部内点组成，一个集合的闭包恰好 由它的全部聚点（可能属于这个集合也可能不属于这个集 合）与它的全部孤立点（必属于这个集合）组成。 ·闭集由全部聚点与全部孤立点（二者均属于这个集合）组 成。 例 1 设 是数直线 ， 。则对于每个 ，都是 的孤立点， 是 的聚点，但不属于 ，设 是区 间 ,则闭区间 中的一切点都是 的聚点， 中的一 切的都是它的内点。 例 2 设 ，即 为全部非负整数组成的集合。在 中定义距离如下： 则 按照距离 为一距离空间而且是 的子空间。 中的一 切点都是它的孤立点，也是内点。 定理2.2 设 是距离空间， ， 都是 的子集，则 （ⅰ） （ⅱ） （ⅲ） （ⅳ） 定理 2.3 设为距离空间，则 （ⅰ）空间 与空集 都是开集； （ⅱ）任意多个闭集的交是开集； （ⅲ）有限多个闭集的并是开集。 例4 设 是离散的距离空间， 中的距离有下列的等式 给出 这里 均属于 ，根据这个定义，中的每个点击为他的内 点也是它的孤立点。因此每个单元素既是开集也是闭集。 例5 设 ，距离定义为 因此 为 的子空间， 及 都是 中既开且闭的集， 中以1为中心以 为半径的开球是区间 。 2.2 稠密性与可分性 定义2.4 设 均为距离空间 的子集。如果 ，则称 在 中稠密。 稠密性概念有下列几个等价命题： （ⅰ） 对于任意 的以及任意的 ，存在 中的点 使 。 （ⅱ）对任一给定的 ，以 中的每个点为中心，以 为半径 的全部开球的并包含 。 （ⅲ）对于任给的 ，存在 中的点列 收敛于 。 注意·在稠密性定义中，并不要求 ， 与 甚至可以没有 公共点。 例5 （ⅰ） 维欧几里得空间 中坐标为有理数的点的全体在 中稠密 （ⅱ）连续函数空间 中博恩斯坦多项式的全体在中稠密。 （ⅲ）设 为有界可测集，则 上简单函数的全体在 中稠密。 定义2.5 距离空间 称为可分的，是指在 中存在一个 稠密的可列子集。 称为可分的，若 本身作为距离空间 （以的 距离为距离）是可分的。