;3 欧拉积分.doc

§3 欧拉积分 教学目的 了解函数与函数的定义． 教学要求 (1)了解函数与函数的定义与有关性质． (2)了解函数与函数的关系公式． 教学建议 (1) 要求学生了解函数与函数的定义和性质，可适量布置有关习题． (2) 对较好学生可布置有关函数与函数的关系公式的习题． 教学程序 一、欧拉积分的概念 含参量积分 =， 称为格马函数. =， 称为贝塔函数. 注：相当一部分困难的定积分和反常积分（如原函数为非初等函数），可通过合适的变量变换转化为欧拉积分，利用欧拉积分的性质，查表来得到近似值． 二、 函数 （一）、定义域 （1）定义域=当时是正常积分，当是收敛的反常积分，=当是收敛的反常积分，故知函数=+的定义域为. （2）函数在定义域内连续且可导. 由不等式知在区间收敛和一致收敛因而在区间连续，由不等式知在区间收敛和一致收敛因而连续，从而函数=+在定义域内连续．同样方法可得函数在定义域内可导且有任意阶导数． （二）、递推公式 = ==, 令即得=， 则=. 为正整数时： ===. （三）、图象 =， = （四）、延拓 ，（除了以外） （五）、其他形式 （1）令可得 ==,(). （2）令可得==,(,). 三、 函数 （一）、定义域 =当时为瑕点，当时为瑕点，定义域为. 任何，在内，一致收敛，故 函数在定义域内连续 （二）、对称性 =. 作变换，===. （三）、递推公式 =，（）， （8） =，（）， （9） =，（）， 时， == = = =， 移项整理即得（8）. （四）、其他形式 （1）令，则有：==. （2）令，则有==. （3）令，则有== 四、函数与函数的关系 当为正整数时，由于=， == = ==. 对于任何实数也有关系式（待以后证明） =，（）. 作业 教材 P194 1;2;3;4. 《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 石家庄经济学院数理学院 1