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二、矩阵可对角化的条件 矩阵可对角化的范例 * §3.2 相似矩阵与矩阵对角化的条件 一、相似矩阵及其性质 二、矩阵可对角化的条件 例1 一、相似矩阵及其性质 如果存在n阶可逆矩阵P, 定义3.3 设A,B是n 阶矩阵, 成立, 则称矩阵A与B相似, 使得 记为 则 。 设 ， 例2 使得 对 解： 存在 可逆矩阵， 所以 。 有: 对于可逆矩阵 ， 于是 。 说明：与矩阵A相似的矩阵不是唯一的，也不全是 对角矩阵。 2. 相似矩阵的性质 ● A 和 B 等价的充要条件： 存在可逆矩阵 P, Q，使得 存在可逆矩阵 P，使得 ● A 和 B 相似的充要条件： 可见，相似关系也是一种等价关系，故有如下性质： ① 反身性：A ~ A； ② 对称性：若 A ~ B，则 B ~ A； ③ 传递性：若 A ~ B，B ~ C，则A~C 性质 1 具有相同的特征值。 定理3.7 设 ， 则矩阵 具有相同的特征多项式， 证明： 这表明矩阵 具有相同的特征多项式， 从而具有相同的特征值。 说明：相似矩阵的特征向量不一定相同。 例如， 互为相似矩阵， [令P=P(1,2)即可证明它们相似] 它们的特征值皆为 ，但属于 的特征向量则分别为： 其中 为正整数。 定理3.8 设 ， 则 , 有 证明： 对任意为正整数 ， 所以 除上述性质外，相似矩阵还具有以下性质： 若 , 则 . （1） （2） 若 , 则 ， 即相似的矩阵 有相同的秩. 有 。 （3） 若 , 则 具有相同的可逆性， 可逆时 定义 就称 可以对角化. 为 阶矩阵, 若 可以相似于一个对角阵 , 设 对角阵 称为 的相似标准形 矩阵。 例如 例2中的矩阵有相似标准形的。 注：并非所有矩阵都有相似标准形存在。 条件是 个线性无关的特征向量. 定理3.9 阶矩阵 相似于 阶对角阵 的充分必要 有 证明： 可以对角化. 推论 阶矩阵 如果有 个不同的特征值, 则 可以对角化. 即如果 的特征多项式无重根, 则 定理3.10 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的每一个ni重特征值 ，特征矩阵 的秩为n-ni。 例2 对矩阵 ， ， 属于8的特征向量为 特征值 （二重）， 属于 的线性无关特征向量为， 根据定理3.10知 该矩阵可以对角化。 ， 取 。 则 根据定理3.10知该矩阵不可对角化。 例3 对矩阵 特征值 （二重） 属于1的线性无关特征向量为 属于2的特征向量为 应满足的条件。 例4 设矩阵 可相似于一个对角矩阵， 试讨论 解： 矩阵A的特征多项式为 特征值为 ， （二重）， 系数矩阵的秩为1。 由 可相似于一个对角矩阵知 属于1的线性无关特征向量 应有两个。 于是， 对应齐次线性方程组 由 知必有 ， 应满足的条件。 这是所给矩阵 可相似于一个对角矩阵