;33 分部积分法.ppt

§3.3 分部积分法 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 * 分部积分公式 设函数u?u(x)及v?v(x)具有连续导数. 那么, (uv)??u?v?uv?, 移项得 uv??(uv)??u?v. 对这个等式两边求不定积分, 得 分部积分过程 这两个公式称为分部积分公式. 上页 下页 铃 结束 返回 首页 例1 ?x sin x?cos x?C . 例2 例3 ?x2ex?2xex?2ex?C ?ex(x2?2x?2 )?C. 分部积分过程： 下页 例4 例5 分部积分过程： 下页 例6 分部积分过程： 下页 解 因为 例7 分部积分过程： 下页 分部积分过程： 解 因为 例8 下页 解 当n?1时, 用分部积分法, 有 例9 即 下页 解法一 于是 解法二 例10 令x?t2, 则dx?2tdt. 下页 注： 在后者中u(x)不是以v(x)为中间变量的复合函数? 故用分部积分法? 在前者中f[?(x)]是以?(x)为中间变量的复合函数? 故用换元积分法? 第一步都是凑微分 第一换积分元法与分部积分法的比较 下页 有理函数的形式 当n?m时, 称这有理函数是真分式; 而当n?m时, 称这有理函数是假分式. 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数: 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如 下页 提示： 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 解 例1 分母可因式分解的真分式的不定积分 下页 A?B?1? ?2A?3B?3? A?6? B??5? 提示： 解 例2 下页 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 分母可因式分解的真分式的不定积分 提示： 解 例3 分母是二次质因式的真分式的不定积分 首页 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数. 用于三角函数有理式积分的变量代换 三角函数有理式的积分 下页 提示： 解 例4 下页 解 例4 下页 说明： 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化为有理函数的积分. 因为这种代换不一定是最简捷的代换. 请看如下积分: 下页 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 解 简单无理函数的积分 例5 下页 解 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 简单无理函数的积分 例6 下页 设 ? 即x?u3?2? 则 * * * 要说分部积分法的第一步是凑微分，第二步是分部. 说明分部过程. 分部积分法的第一步是凑微分，第二步分部. 建议不要设u是什么和v是什么. 要说明如果被积函数是幂函数与三角函数或指数函数的积，则指数函数或三角函数要优先凑微分. 要说明如果被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的积，则幂函数要优先凑微分. 指出与正整数n有关的积分有时可求出递推公式. 说明因为假分式总可以化成一个多项式与一个真分式这和的形式，而多项式的积分已解决，所以只需讨论真分式的积分. 三角函数有理式的积分方法是通过变换化为有理函数的积分.