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例4.5 把函数 展开成 的幂级数. 解: §4.4 解析函数的洛朗展式 考虑级数 其中z0和 为常数，z为变量. z -z0的正幂级数 z -z0的负幂级数 如果在z =z1处， z -z0的正幂级数和z -z0的负幂级数都收敛，就称z1为级数 的一个收敛点.不是收敛点的点就称为该级数的发散点. z -z0的正幂级数，它的收敛范围是圆盘 ，且 时级数发散. z -z0的负幂级数， 它的收敛半径为?，则当 时收敛， 时发散. 记 ，于是负幂级数当 时收敛，而 时发散. 的收敛集合就取决于r和R. (1)若 ，此时正幂级数和负幂级数没有公共的收敛范围，故级数在复平面上处处发散. (2)若 ，此时正幂级数和负幂级 数的公共收敛范围是圆环 ，所以级数在这个圆环内收敛，而 在其外部发散.在其边界 和 上级数可能有收敛点， 也可能有发散点. (3)若 ，此时级数在 以外的点处处发散，而在 上的点无法直接断定其收敛性，要根据具体情况而定. 定理 4.11 级数 在其收敛圆环内的和函数是解析的，而且可以逐项求积分和逐项求导数. 例 4.6 讨论级数 的收敛集，并求和函数，其中a与b为复常数. 解 分别讨论负幂级数和正幂级数. 负幂级数 当 ，即 时收敛，且和函数为 . 正幂级数 当 ，即 时收敛，且和函数为 当 时，原级数收敛且收敛圆环为 ，和函数为 当 时，负幂级数和正幂级数的收敛域没有公共点，故原级数发散. 在圆环 内解析的函数 可以展开为级数： 定理 4.12 设 在圆环 内解析，那么 其中 这里C为圆环 内任何一条绕z0的正向简单闭曲线，且 表达式是唯一的. 称为函数 在以z0为中心的圆环 内的洛朗(Lanrent)展开式. 它的右端称为在此圆环内的洛朗级数. * * §4.1 复数项级数 1. 复数列和复数列的极限 定义4.1 设 为一复数列，其中 为一确定的复数. 如果对任意的正数?，存 在正整数N，使得当nN时，有 成立，则称a为复数列{an}当n??时的极限，记作 并称复数列{an}收敛于a. 定理 4.1 复数列{an}收敛于a的充分必要条件是： 证明 如果 ，则对?0，存在正整数N，使得当nN时，有 从而有 所以有 同理有 反之，如果 ,对?0 ，存在正整数N，使得当nN时，有 2. 复级数 设 为一复数列，表达式 称为复数域上的无穷级数，简称复级数或级数.记该级数的前n项部分和为 {sn}称为该级数的部分和数列. 定义 4.2 若级数 对应的部分和数列{sn}收敛于常数s，即 那么 称为收敛的级数.数s叫做该级数的和，记为 若 不存在，则 称为发散的级数. 定理 4.2 复级数 收敛于s的充要条件是实级数 和 分别收敛于?和?，其中 证明：