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§4.4 线性系统的结构分解 1. 按能控性结构分解 设 (4.21) 若, 则在中 选r个无关列向量 , 补个无关列向量, 得 , 令, 则, 即 . 定理4.8 若(4.21)不完全能控, 则由可得 (4.22) , 是能控的r维状态, 是不能控的维状态向量. 证 (分三步) 按r和分块 , (i)先证. 因可表 ( 可表, 所以 . 故 . (ii) B可由表示( 所以, 记, 则 . (iii)最后由 , . 故子系统是完全能控的. 维子系统是完全能控的 维子系统是完全不能控的 输出 例4.11 设 (4.23) 验证能控性, 并分解. 解 , 因, 故系统不完全能控. 选前两列, 补, , , 使 则 , . 故 (4.24) 注 是第I能控标准型, 若取 则有 (仍MCI). 2. 按能观性结构分解 若(4.21)不完全能观, 则. 在中选r个行向量, 补个无关行向量, 得非异阵 得非奇异阵 , (4.25) 令, 则, 即有 . 定理4.9若(4.21)不完全能观, 则由(4.25)的可得 (4.26) 为r维能观的状态, 为维不能观的状态. 证 略. 由(4.26)得 r维子系统 是能观的; 维子系统 是不能观的. 结构分解如后图 对例4.11, 验证能观性且按能观结构分解. 解 , 因, 故不完全能观. 选前两行:, , 补, 则 , . 从而按能观结构分解的表达式为 . (4.27) 3. 按能控性和能观性结构分解 定理4.10若(4.21)既不完全能控,也不完全能观, 则有 使变换后系统为 ,(4.28) . (4.29) 释:先将(4.21)按能控性分解表达, 再对能控部分和不能控部分分别按能观性分解即得结论, 见图4.14. 由结构分解 ( 一个不完全能控和不完全能观的线性定常系统(4.21), 其输入-输出描述即传递函数(矩阵)只反映系统中能控且能观的那一部分. 因为直接计算得 . 这表明: 增或减不能控、不能观的状态不影响传递函数的值, 即传递函数不完全反映系统内部状态. 关于这个问题将在实现问题中作进一步的讨论. 14 13