;4．2 换元积分法.ppt

一、第一类换元法 二、第二类换元法 * * §5.2 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、积分公式小结 定理1 设f(u)具有原函数，u?j(x)可导，则有换元公式 的形式，那么 如果函数g(x)可以化为 g(x)? f[j(x)]j?(x) 根据定理1， ?sin u ?C ?sin 2x ?C ． 例2 例1 ? ?ln |u|? C ? ?ln |cos x|? C ． 例4 例3 例5 熟练之后，不必再写出变量代换． 例6 例7 例8 例9 例10 例11 含三角函数的积分： 例12 例13 例14 例15 ?ln |csc x ?cot x |?C ． ?ln |sec x ? tan x | ? C ． 例16 例17 例18 定理2 设x ?j(t)是单调、可导函数，并且j ?(t)?0．又设 f [j(t)]j?(t)具有原函数F(t)，则有换元公式 其中t =j-1(x)是x?j(t)的反函数． =F(t)+C = F[j-1(x) ]+C, 用第二类换元法求不定积分 的步骤是： 然后求积分 令x=j(t)，则有 最后将t =j-1(x)代入f [j(t)]j?(t) 的原函数中． 第二类换元法用于求特殊类型的不定积分． 那么 解 ? a cos t ， 于是 dx ?a cos t d t ， 所以 t x a 例19 解法一： 那么 ?a sec t ， dx?a sec 2t d t ，于是 因为 其中C 1?C?ln a ． t x a 所以 例20 解法二： 设x?a sh t ，那么 dx ?a ch t d t ， 于是 ?a ch t ， 其中C 1?C?ln a ． 例20