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§5 因式分解定理 一、不可约多项式的基本概念及性质 二、因式分解及唯一性定理 * 主要内容 不可约多项式的基本概念及性质 因式分解及唯一性定理 目录 下页 返回 结束 定义8 数域 P上次数≥1的多项式p(x),如果不能表成数域P上的两个次数比 p(x) 低的多项式的乘积, 则称 p(x)为域P上的不可约多项式. 否则, 称 p(x)为P上的可约多项式. 也可描述为: 首页 上页 下页 返回 结束 (2) 任何数域P上的一次多项式总是不可约的. 故一元多项式环P[x]中都存在不可约多项式. (3) 一个多项式能否分解,就看它是否可约多项式. (4) 一个多项式可约与否与多项式的系数域有关. (5) P[x]中的多项式可分成以下四类: 1)零多项式; 2) 零次多项式; 3) 不可约多项式; 4) 可约多项式. (1) 定义中要求 . 因此对于零多项式和零次多项式(即P中的全体数),既不能说它们是可约的也不能说它们是不可约的. 因此今后谈到多项式的可约性时, 总指次数大于0的多项式. 注: 首页 上页 下页 返回 结束 不可约多项式有如下性质: (1) 若p(x)不可约, 则cp(x)也不可约. (2) 若p(x)不可约, 则对任意的 f (x)∈P[x], 有(p(x), f (x))=1或p(x)| f (x). 首先, 由定义可知, 若 , 则 首页 上页 下页 返回 结束 定理5 设p(x)是不可约多项式, 若p(x)| f (x)g(x), 则p(x)| f (x),或者p(x)|g(x). 证 若p(x)| f (x) , 则结论已经成立. 则由上面性质有(p(x), f (x))=1. 再由定理4知 p(x)| g (x). 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 证 对 f (x)的次数n作数学归纳法(第二型). 因为一次多项式皆不可约, 所以n=1时结论成立. 假设结论对于次数低于n的多项式已经成立. 如果 f (x)不可约, 则结论显然成立. 如果 f (x) 可约, 则有 由归纳法原理, 结论普遍成立. 首页 上页 下页 返回 结束 再证分解的唯一性. 设 f (x)有两个分解式: 对分解式个数s作数学归纳法(第一型). 假设不可约因式的个数为s-1时唯一性成立, 由 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 * * *