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§5 线性方程组有解判别定理 一、线性方程组的向量表示形式 二、线性方程组有解判别定理 三、一般线性方程组的解法 四、线性方程组的求解步骤 * 主要内容 线性方程组的向量表示形式 线性方程组有解判别定理 一般线性方程组的解法 线性方程组的求解步骤 目录 下页 返回 结束 在有了向量和矩阵的理论准备之后，我们现在 来分析一下线性方程组的问题，给出线性方程组有 解的判别条件. 设线性方程组为 首页 上页 下页 返回 结束 引入向量 于是线性方程组(1)可以改写成向量方程 x1?1 + x2?2 + … + xn?n = ? . (3) 显然，线性方程组(1)有解的充分必要条件为 向量 ? 可以表示成向量组?1 , ?2 , …, ?n 的线性组 合. 用秩的概念，这个条件可以叙述如下： 首页 上页 下页 返回 结束 定理7(线性方程组有解判别定理) 线性方程组 (1)有解的充分必要条件为它的系数矩阵 与增广矩阵 首页 上页 下页 返回 结束 有相同的秩. 证 先证必要性. 设线性方程组 (1) 有解, ? 可以经向量组 ?1 , ?2 , …, ?n 线性表出. 向量组 ?1 , ?2 , …, ?n 与 ?1 , ?2 , …, ?n , ? 等价, 因而它们有相同的秩. 这两个向量组分别是矩阵 A 亦即 由此可得, 首页 上页 下页 返回 结束 再证充分性. 于是 它们的列向量组?1 , ?2 , …, ?n 与?1 , ?2 , …, ?n , ? 有相同的秩，令它们的秩为 r . ?1 , ?2 , …, ?n中的 极大线性无关组由 r 个向量组成, 不妨设?1 , ?2 , …, ?r 是它的一个极大线性无关组. 显然?1 , ?2 , …, ?r 与 的列向量组. 因此, 矩阵 A 与 有相同的秩. 设矩阵 A 与 有相同的秩. 也是 ?1 , ?2 , …, ?r , ? 的一个级大线性无关组, 向量 ? 可以经 ?1 , ?2 , …, ?r 线性表出, 因此 它当然可以 经?1 , ?2 , …, ?n 线性表出. 因此, 方程组 (1) 有解. 首页 上页 下页 返回 结束 这个判别条件与消元法是一致的. 我们知道, 用消元法解线性方程组 (1) 的第一步就是用初等行变换把增广矩阵 化成阶梯形. 这个阶梯形矩阵在适当调动前 n 列的顺序之后可能有两种情形： 情形一： 首页 上页 下页 返回 结束 情形二： 其中 cii ? 0 , i = 1, 2, … , r , dr+1 ? 0 . 首页 上页 下页 返回 结束 对于情形二，我们说原方程组无解，而对于情 形一，我们说原方程组有解. 实际上，把这个阶梯 形矩阵中最后一列去掉，那就是线性方程组 (1) 的 系数矩阵 A 经过初等行变换所化成的阶梯形. 这就 是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组 有解； 当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加 1 时， 方程组无解. 以上的说明也可以认为是判别定理的另一个证 明. 首页 上页 下页 返回 结束 根据克拉默法则，可以得到一般线性方程组的一个解法. 这个解法有时在理论上是有用的. 设线性方程组 (1) 有解，矩阵 A 与 的秩都等于 r，而 D 是矩阵 A 的一个不为零的 r 级子式 (当然它也是 的一个不为零的子式 ), 为了方便起见,不妨设 D 位于 A 的左上角. 显然, 在这种情况下, 的前 r 行就是一个极大线性无关组, 第 r + 1 , … , s 行都可以经它们线性表出. 因此, 方程组 (1) 与 首页 上页 下页 返回 结束 同解. 当 r = n 时, 由克拉默法则, 方程组(4)有唯一解, 也就是方程组 (1) 有唯一解. 当 r n 时，将方程组 (4) 改写为 首页 上页 下页 返回 结束 方程组 (5) 作为以 x1 , x2 … , xr 为变量的一个方程 组，它的系数行列式 D ? 0. 由克拉默法则，对于 xr+1 , … , xn 的任意一组值，方程组 (5)，也就是方 程组 (1) ，都有唯一解. xr+1 , … , xn 就是方程组(1) 的一组自由未知量. 对 (5) 用克拉默法则，可以解 出 x1 , x2 … , xr ： 首页 上页 下页 返回 结束