一元二次方程课堂总结_.doc

一元二次方程知识点梳理（课堂内容） 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。一般式:。是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，叫做常数项。 根的意义：把根代入方程左右相等。 当时，方程有根当时，方程有根。 如果一元二次方程的两根为，则。 若为有理数，是无理数，是有理系数方程的一个根，则也是这个方程的一个根。 一元二次方程的解法： （1）因式分解法 （2）开平方法 （3）配方法 （4）公式法 [注意]：对于含字母系数的方程： 若题中“关于的方程”，则要分情况讨论。 举例：解关于的方程： 分情况讨论：①当时；②当时。 若题中“关于的一元二次方程”，则二次项系数不等于0。 举例：关于的一元二次方程，则。 根的判别式，其应用主要有： 判定方程实根的情况（有无实数根、根的个数）；（整系数二次方程有有理根的条件：为完全平方数） 利用建立等式或不等式，求取含字母系数（参数）方程中参数的值或取值范围； 证明与方程相关的代数问题； 运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。 根与系数的关系（韦达定理）的应用： 运用韦达定理和根的定义，求解与根相关的代数式的值（如根的对称式、非对称式的值）（有时需要构造“对偶式”的方法来求值）； 举例：已知是方程的两根，且，不解方程，利用根与系数的关系，求的值。（） 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征（如同号异号、正负）； 求含字母系数（参数）方程中参数的值或取值范围； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题。 [注意]：韦达定理的应用，必须满足判别式这个隐含条件。 二次三项式的因式分解： 对于，若此二次三项式能在有理数范围内因式分解，则为完全平方数，即可采用十字相乘法进行分解；若不能在有理数范围内因式分解，则不为完全平方数。 在实数范围内因式分解：。。 一元二次方程的整数根问题： 因式分解法（直接求根法） 判别式法 韦达定理法 变更主元法 完全平方数的末位数判断法 [方法的选择]：① 首选因式分解法，运算简单； ② 当方程参系数次数较低（）且能进行消元时，选择韦达定理法；或者碰到根或参系数为质数、奇数时；或者参系数含有两个变元等情况时。（可令或，以缩小讨论范围） ③ 当方程参系数次数大于1次时，可考虑选择判别式法，但次数时，可考虑变更主元法。 ④ 变更主元法适用于：在已知的方程中，当参系数的次数低于未知数的次数时，可将方程看成是关于参系数的方程进行分析求解。当用判别式或韦达定理法较难入手或失效时，用这种方法显得方便。 [整数根问题求解的方法总结] 两根均为整数的情况 直接求根法 （因式分解法） 直接求根法主要步骤 例1 已知为整数，且关于的二次方程有两个不相等的正整数根，求。（ 例2 设关于的二次方程的两个根都是整数，求满足条件的所有实数的值。（） 判别式法 ① 是完全平方的情形 （这种方法可等同于方法（1）因式分解法） 例3 已知关于的方程的根都是整数，求符合条件的整数有几个？（5个） （此题也可通过方法（1）求解） ② 是非完全平方的情形 判别式法主要步骤 例4 设为整数，且方程有两个整数根，求的值及方程的根。（当时，；当时，。） 例5 已知方程的根都是整数，求整数的值。（ 韦达定理法 韦达定理法主要步骤 [注意] 当已知方程参系数或根为质数时，可依据“奇偶性”分析为突破口求解。 例6 已知关于方程的两根都是正整数，求的值（ 例7 已知为正整数时，关于的一元二次方程的二根为素数，求此方程的解。（） 至少有一个整数根（或有整数根）的情况 直接求根法 （因式分解法） 步骤同上（1），两者区别在于： 对于两根均为整数情况，参系数的取值须同时满足为整数，可理解为“且”的关系； 对于至少有一个整数根（或有整数根）的情况，参系数的取值只需满足两根中有一个为整数即可，可理解为“或”的关系。 判别式法 ① 是完全平方的情形 方法步骤同上，只需满足或为整数即可。 ② 是非完全平方的情形 方法步骤同上，只需满足或为整数即可。 例8 若方程有整数解，求整数的值。（ 变更主元法 变更主元法主要步骤 例9 若关于的一元二次方程至少有一个整数根，求正整数的值。（ 没有整数根 韦达定理法