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习题一： 函数的概念
习题一: 函数的概念
1．下列函数中哪些是入射的，满射的或双射的。
a)
b)
c）
d）
e）
2．令，这里，证明
3．假设和是函数，且有和dom dom ,证明
=
4．假设和是函数，证明也是函数。
5．假定和是有穷集合，找出从到存在入射的必要条件是什么？
6．设和是有穷集合，有多少不同入射函数和多少不同的双射函数。
7．试证明
8．假设：并定义一个函数对于
证明，如果是到的满映射，则是入射的；其逆成立吗？
9．设，定义函数如下：
判断下列各式是否成立：
（1）
（2）
（3）
（4）
10．设X为非空集合。定义函数和如下：设，，
。判断下述关系的正确性，并阐述理由：
（1）
（2）
（3）
（4）
11． 设有双射，P(A)和P(B)分别表示A和B的幂集，试构造从P(A)到P(B)的一个双射，并证明之。
12． 令，。问
有多少个不同的由X到Y的关系？
有多少个不同的由X到Y的函数？
当n,m满足什么条件时，存在单射，且有多少个不同的单射？
当n,m满足什么条件时，存在满射，且有多少个不同的满射？
当n,m满足什么条件时，存在双射，且有多少个不同的双射？
13． 指出以下函数是否为单射？满射？双射？说明理由。然后按要求进行计算。其中N是非负整数集。
（1），。计算。
（2），。计算。
14． 设是偏序集，对，证明是一个单射，且当时，有。
15． 设，，且，，定义，，说明G有什么性质（单射、满射和双射），计算值域ranG。
16． 设函数，定义函数，对于，，证明：如果是从A到B的满射，则G是单射，并判断其逆命题是否成立。
17．设是N到N的函数，
；
试确定：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
18．设。
（1）是单射吗？
（2）是满射吗？
（3）计算。
19．设R为实数集，令X为R到的函数的全体。若，定义当且仅当，，证明：S是一个偏序，并且判断S是全序吗？
20．R1和R2为X上的两个关系，且（恒同关系）
（1）若X为有限集合，证明：存在X上双射F1和F2，使得且，。
（2）若X为无限集合，举例说明（1）的结论不成立。
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