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第十章 多元函数积分学 辽宁地质工程学院 史晓艳 四 小结 * * 第一节 二重积分的概念与性质 第十章 多元函数积分学 前面学过一元函数定积分，它的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间。作为推广，多元函数的积分学是将这种和式的极限概念加以推广，被积函数可以是多元函数，被积范围可以是平面区域、空间区域或是曲线弧段。本章将讲解二重积分、三重积分和坐标的曲线积分的概念，学习它们的性质、计算方法和一些应用。 §10.1 二重积分的概念与性质 10.1.1 两个实例 10.1.2 二重积分的定义 10.1.3 二重积分的性质 10.1.4 小结与习题 10.1.1 两个实例 解： 对区域D进行网状分割（如图） 1 求曲顶柱体的体积 一曲顶柱体其顶为曲面 底面为平面区域 D,求此曲顶柱体的体积。 曲顶柱体的体积 3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体 积之和为 4）取极限： 2）近似代替： 其中 在每个小区域中任取一点 每个小曲顶柱体的体积 2 平面薄片的质量 2）取点 3）作和 4）取极限 设平面薄片占有xoy面上的区域为D，它在点（ x , y )处的密度为 求：此薄片的质量 二 二重积分的定义 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 注： 1 在二重积分定义中，对区域D的划分是任意的，故 如果在直角坐标系中用平 边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域 则 故在直角坐标系中， 都是矩形闭区域。设矩形小闭区域 的边长为 和 行于坐标轴的直线网来划分 D，则除了包含， 0 x y D 直角坐标系下面积元素 图示 2 存在性：当 在闭区域D上连续时，函数 在D上的二重积分必定存在。以后总假定 在D 上 的二重积分是存在的。 3 由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数 在D上的二重积分 平面薄片的质量是面密度 在薄片所占闭区域D上的 二重积分： 4 二重积分的几何意义： 1）如果 则二重积分 解释 为曲顶柱体的体积。 2）如果 则二重积分 解释 为曲顶柱体体积的负值。 3）如果 则二重积分 解释为曲顶柱体体积的代数和。 （其中xoy面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体积取负）。 三 二重积分的性质 性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即： 性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。 性质3 (区域可加性) 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和. 为D 之面积 性质4 如果在D上 （高为1的平顶柱体的体积在数值上等于 柱体的底面积。） 性质5 若在D上， 则： 特别地， 例1 比较下列积分的大小： 1） 与 其中D: 0 y x (3,0) (1,0) (0,1) . D 解：在区域 D内，显然有 故在D内 ,其中区域 D为 顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。 2） 解： BC的方程 x+y=2 D内 所以 A(1,0) B(2,0) B(1,1) 性质6（估值定理） 设在D上f(x,y)的最大值为M，最 小值为m，A为D的面积，即 则 证明： 因为 由性质5 所以 例2 解： 在D内的最大值为4，最小值为1 区域D的面积为2 所以由性质6得 性质7(中值定理) D连续， 之面积,则在D上至少存在一 使得： 证明：由性质6得， 点 在闭区域 根据据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少 存在一点 即 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） （和式的极限） * *