用微积分推导简谐运动的位移时间公式.docVIP

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2017-06-14 发布于北京
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用微积分推导简谐运动的位移时间公式.doc

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用微积分推导简谐运动的位移时间公式已知：以弹簧振子作为研究对象，弹簧振子的质量为m，设所经历的时间为t，且当t=0时，弹簧振子处于受力平衡位置，弹簧的拉力系数为k（单位为N/m），设弹簧振子的初速度为V0，试推导弹簧振子位移s与时间t的关系。解：设s与t的表达关系为s=s(t) 由导数的意义知，s =s (t)表示位移s在时间上的变化率，即当时间为t时，弹簧振子的速度v= s 同理，当时间为t时，弹簧振子的加速度a=v =s 弹簧振子所受的弹力F=-ks=ma 即，-ks=m s 对该微分方程整理得其特征方程为显然k和m都为正物理量，所以该特征方程Δ＜0 于是该特征方程具有共轭复根由二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式得，原微分方程的通解为其中C1、C2都是与t无关的常量由已知条件得，当t=0时，s=0，于是C1=0 所以对s进行求导得由已知条件得，当t=0时，V=V0 所以所以，最终确认简谐运动的位移时间公式为由该公式可以得出，该简谐运动的振幅为，振幅与初速度的大小、弹簧振子的质量、弹簧的拉力系数有关。该简谐运动的周期为，周期与弹簧振子的质量、弹簧的拉力系数有关，与初速度大小无关。