均值不等式及其运用.doc

均值不等式及其运用 教学目标教学重点:教学难点：等号成立条件，利用基本不等式求最大值、最小值。命题趋势:高考考察的重点内容之一,题型多种多样,涉及面广,经常有综合性强\难度较大的题目出现. 学情分析:在不等式的基础上学习本节,比较好理解掌握. 高考再现:(见后) 教学过程: 知识点一：2个重要不等式，那么（当且仅当时取等号“=”）.　　2．基本不等式：　　　 如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.　　注意：和两者的异同：　　（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；　　（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。　　（3）可以变形为：，可以变形为：.知识点二：基本不等式的证明　　如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。　　得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）　　特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：　　　　　　如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.　　通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2. 代数法　　∵，　　当时，；　　当时，.　　所以，（当且仅当时取等号“=”）.　　特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：　　如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.　　通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 知识点三：基本不等式的几何意义是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　易证，那么，即.　　这个圆的半径为，它大于或等于，即，　　其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.　　注意：　　1. 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.　　2. 如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 经典例题透析类型一：基本不等式的理解1.，，给出下列推导，其中正确的有___________（填序号）.　　（1）的最小值为；　　（2）的最小值为；　　（3）的最小值为.　　【答案】（1）；（2）　　（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.　　（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.　　（3）∵，∴，　　　　 （当且仅当即时取等号）　　　　 ∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即　　【变式1】下列命题正确的是（ ）　　A.函数的最小值为2. 　　 　　　　　　　　B.函数的最小值为2　　C.函数最大值为　　　　D.函数 的最小值为2　　【答案】C　　解析：A选项中，∵，∴当时由基本不等式；　　　　　　　　　 当时.∴选项A错误.　　　　　 B选项中，∵的最小值为2　　　　　　　　　 （当且仅当时，成立）　　　　　　　　　 但是，∴这是不可能的. ∴选项B错误.　　　　　 C选项中，∵，∴，故选项C正确。 均值不等式及其运用(二)主备人:韩玉杰 记录人:薛彦合 2011.10 教学目标教学重点:教学难点：等号成立条件，利用基本不等式求最大值、最小值。命题趋势:高考考察的重点内容之一,题型多种多样,涉及面广,经常有综合性强\难度较大的题目出现. 学情分析:在不等式的基础上学习本节,比较好理解掌握. 高考再现:(见后) 教学过程: 知识点一：用基本不等式求最大（小）值知识点二：几个常见的不等式，当且仅当a=b时取“=”号。　　2），当且仅当a=b 时取“=”号。　　3）；特别地：；　　4） 　　5）；　　6）；　　7）规律方法指导与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数。如是成立的，而是不成立的。　　2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解。　 　　当a=b取等号，其含义是；　 　　仅当a=b取等号，其含义是。　 　　综合上述两条，a=b是的充要条件。　　3．基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值则“积”有最大值。　　4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：　 　　①各项都是正数；②和（或积