(新课标人教A版)选修1-2数学同步课件：2-1-1《合情推理》.ppt

[点评]　在几何中随着点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，分析时递推关系的寻找是重点． (1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？ (2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？ 顶点数 边数 区域数 (a) (b) (c) (d) [解析]　各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为 (2)观察： 3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2； 10＋7－15＝2 通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2. 顶点数 边数 区域数 (a) 3 3 2 (b) 8 12 6 (c) 6 9 5 (d) 10 15 7 请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明． [解析]　考虑到用“面积法”证明结论时，把O点与三角形的三个顶点连结，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积的方法相应结论． [点评]　在类比推理中，找出两类事物之间的相似性或一致性，特别是由平面向空间类比中，注意研究空间和平面的根本区别． 找出三角形与四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质： (1)三角形任意两边之和大于第三边； (2)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心； (3)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边． [解析]　三角形与四面体有下列相似的性质： ①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形． ②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上各点连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形． 根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质如下： 三角形 四面体 三角形任意两边之和大于第三边 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心 三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边 四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的 ，且平行于第四个面 [点评]　虽然由类比所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却是十分有用的． [例4]　在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n19，n∈N＋)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________成立． [答案]　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n17，n∈N*) [解析]　本题考查等差数列与等比数列的类比．一种较本质的认识是：等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m、n、p、q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq)； 等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m、n、p、q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq)． 由此，猜想本题的答案为： b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n17，n∈N*)． 事实上，对等差数列{an}，如果ak＝0，则an＋1＋a2k－1－n＝an＋2＋a2k－2－n＝…＝ak＋ak＝0.所以有：a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋an＋(an＋1＋an＋2＋…＋a2k－2－n＋a2k－1－n)(n2k－1，n∈N＋)．从而对等比数列{bn}，如果bk＝1，则有等式：b1b2…bn＝b1b2…b2k－1－n(n2k－1，n∈N＋)成立． [点评]　本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比思想方法由等差数列{an}而得到等比数列{bn}的新的一般性的结论． 根据等差数列的性质，利用类比方法试写出等比数列的一些性质. 等差数列性质{an}，公差d 等比数列性质{bn}，公比q 若m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq ① 若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap ② ak，ak＋m，ak＋2m，…构成公差为md的等差数列 ③ Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成公差为n2d的等差数列 ④ am＝an＋(m－n)d ⑤ [点评]　类比推理又称类比法．它是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其它属性也相同的推理．简单地说，类比推理是由特殊到特殊的推理． [例5]　请用类比推理完成下表 一、选择题 1．数列2,5,11,20，x,47，…