含参变量的广义积分.ppt

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含参变量的广义积分

三、一致收敛积分的性质 * 上一页 下一页 主 页 * 上一页 下一页 主 页 本章研究形如 的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性。下面只对无穷限积分讨论,无界函数的情况可类似处理。 含参量广义积分与函数项级数在所研究问题与论证 方法上极为相似。 设 在 上有定义, 存在,也就是说, 注意,这里的 不仅与 有关而且与 有关。 如果存在与 无关的 ,就得到一致收敛的定义。 一、一致收敛的定义 二、一致收敛积分的判别法 Cauchy 一致收敛准则 积分 关于 一致收敛的充要条件是 魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法 若 一致收敛。 证明 因为 收敛,所以由广义积分一致收敛的柯西 准则,有 且 收敛,则 关于 从而 所以 关于 一致收敛。 例 1 在 内一致收敛 解 因为 而积分 收敛, 所以 在 内一致收敛 1. 连续性定理 因为 在 内一致收敛,所以 证明 因此,当 时, 设 在 上连续, 关于 在 上一致收敛,则一元函数 在 上连续。 又 在 上连续,所以 作为 的函数在 连续,于是 从而,当 时,有 定理证毕。

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