2-n阶行列式、性质与展开定理.ppt

第一节n 阶行列式 1、基本概念 用行列式形式表示方程组的解 1、基本概念 第二节行列式性质与展开定理 第三节克莱姆（Cramer）法则 第二章练习 P36，习题2(A)第3(5)；4(3)；5；7 (B) 答疑：联合收入问题 X,Y,Z三公司股份关系如图： X公司拥有Z公司60%股份， Z公司掌握X公司20%股份， 而X公司有80%的股份不受 其他两家公司控制…，等等。 设各自营业净收入分别是 10、8和6万元。 每家的联合收入=净收入+ 在其他公司的股份按比例的 提成收入。 求：各公司联合收入及 实际收入。 联合收入 =本公司营业净收入+在其他公司股份比例的提成收入 设：X，Y，Z联合收入分别为x，y，z， 则：三公司实际收入分别为0.8x, 0.1y, 0.2z Matlab代码为： Syms x y z eq1=sym(‘x-0.8*y-0.6*z=10’) eq2=sym(‘y-0.2*z=8’) eq3=sym(‘-0.2*x-0.1*y+z=6’) [x y z]=solve(eq1,eq2,eq3) 习题2作业 P36，习题2(A)第2(1,2); 3(3, 5); 4(3,4); 6 ， 8(1); 9; 10 综上，得公式 注：直接应用行列式展开公式并不一定简化计算， 因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量； 只是在行列式中某一行或某一列含有较多的 零时，应用展开定理才有意义。 但展开定理在理论上是重要的。 Property 3 用数 k 乘以行列式，相当于用数 k 乘以行 列式的某一行（列）的所有元素. 即 第 i 行（列）乘以 k ，记作 Corollary 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公 因子，可以提到行列式符号外面 . 行列式的性质小结 Corollary 2 如果行列式中一行（列）为零，则该行 列式为零 . ( 取 k = 0 ) Corollary 3 行列式中如果有两行（列）元素成比例, 则 此行列式为零 . ( 由 Pro. 3 Co. 1 及 Pro. 2 Co.1 ) Property 4 由Th.1，按该行（列）展开可得 . 行列式的性质小结 Property 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以数 k ，然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式 不变 . 即 以数 k 乘第 j 行加到第 i 行，记作 （由 Pro .4、Pro .3 Co.3即得） 注意表示！ 三、行列式的性质 Example 8 计算 Solution: 化行列式为上（下）三角行列式是一重要方法 = -45 改为 6，如何？ 4阶及以上行列式不能用对角线法 三、行列式的性质 Example 8 计算 Solution: 化行列式为上（下）三角行列式是一重要方法 = -45 改为 6，如何？ 4阶及以上行列式不能用对角线法 三、行列式的性质 Example 9 计算 Solution: 方法一 D4 = (a+3b)(a-b)3 方法二 D4 = (a+3b)(a-b)3 方法一、方法二 对 n 阶也很适用 三、行列式的性质 方法三 将 a = b+(a-b) 则 利用 Pro. 5 进行拆项，几项 ? 应有 16 项 . 但包含两个或两个以上第一个子列，则为零 . 三、行列式的性质 Example 10 试证 Proof ： 分析特点: 列之和相等 (实质是计算) 确定方法 左边 = 右边 三、行列式的性质 Example 11 n 阶行列式 ， 满足 aij = - aji i，j = 1 ~ n 证明：当 n 为奇数时，D = 0 . Proof ： 由条件可知 ：aii = -aii i = 1~n 得 aii = 0 D = (-1)nD Pro.1 Pro. 3 因为 n 为奇 数，D = -D, 所以 D = 0 . 三、行列式的性质 Example 12 计算 Solution: 方法一 将各列加到第一列，得 方法二 Dn cj+cj+1 j=n-1