四川省省级课程《实变函数论 》.ppt

新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手） 启示1:圆的面积 启示2:达布上和与下和 启示3: Jordan测度: 例：设E为[0,1]中的有理数全体，则E不Jordan可测 1. Lebesgue外测度(外包)定义 2. Lebesgue外测度的性质 3）次可数可加性 4）若d(A,B)＞0， 则m*(A∪B)＝m*A＋m*B * * 四川省省级精品课程《实变函数论 》 主讲人：魏勇 §2.1 外测度 第二章 可测集与可测函数 yi yi-1 用 mEi 表示 Ei 的“长度” 问题：如何求 的长度,面积,体积呢? 内接正n边形的面积（内填） 内接 外切 外切正n边形的面积（外包） Riemann积分 xi-1 xi 达布下和的极限 下积分（内填） xi-1 xi 达布上和的极限 上积分（外包） Jordan外测度（外包,允许相交,有多无少!取最小） Jordan可测: Jordan内测度（内填,不准相交,有少无多!取最大） 称此值为Jordan测度 即 ， 所以E有Jordan不可测. 同理 ，无理数集E无也Jordan不可测 故新积分不能依靠它! (因为它照样无法解决D(x)可积问题!) Jordan测度的缺陷: 为E的Lebesgue外测度。 定义1.7.1： ，称非负广义实数 与Jordan外测度比较： 关键在于改有限个开区间之并为开集! 即：用一开集合列 G的体积|G|“近似”替换集合E的体积 应用下确界概念得： 例1 可数集A外测度为0 (如整数、有理数、代数数 集） 证明： 设A={x1,x2,…,xn,…},对任意xi 故m*A=0 2）单调性： 1）非负性： ， 当E为空集时， 定理2.1.1 证明：对任意的ε0,由外测度的定义知，对每个An都有 一列开集Gn 由ε的任意性，即得 只须证当d(A,B)＞0时，m*A＋m*B≤m*(A∪B) 事实上，存在开集G?A∪B满足 |G|≤m*(A∪B)＋ε 由推论1.6.4知：存在开集U1 ?A，U2 ?B，U1∩U2 =φ 令G1=U1∩G，G2 =U2∩G，则G1∩G2 =φ m*A＋m*B≤|G1|＋|G2|≤|G|≤m*(A∪B)＋ε, 由ε的任意性知： m*A＋m*B≤|G|≤m*(A∪B) * * * 一方面，显然|I|≤mI，（当） 另一方面，对任意ε＞0存在开区间G＝II，满足 |I|≤|I|＋ε，故mI≤|I|，从而mI＝|I|