2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：5.2等差数列及其前n项和(共57张).ppt

【例2】已知数列{an}中， (n≥2,n∈N*), 数列{bn}满足 (n∈N*). (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由. 【解题指南】利用定义法证明数列{bn}是等差数列；先求bn， 再求an,最后利用函数的单调性求最大项和最小项. 【规范解答】(1) 又 ∴数列{bn}是以 为首项，以1为公差的等差数列. (2)由(1)知 则 设 则f(x)在区间(-∞, )和( +∞)上 为减函数. ∴当n=3时，an取得最小值-1，当n=4时，an取得最大值3. 【反思·感悟】本例中在用定义法证明{bn}是等差数列时，不论用bn+1-bn还是用bn-bn-1需要考虑运算中是否包含了b2-b1这一运算.这是容易被忽视的问题. 【变式训练】1.已知数列{an}中，a1=-1,an+1·an=an+1-an,则数列{an}的通项公式为_______. 【解析】∵an+1·an=an+1-an ∴数列 是公差为-1的等差数列，且 答案：an= 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn-1=0 (n≥2), 求证： 是等差数列. 【证明】∵an=Sn-Sn-1,且an+2Sn·Sn-1=0(n≥2)， ∴Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0(n≥2)， 又Sn≠0， ∴数列 是以2为首项，2为公差的等差数列. 等差数列的性质及应用 【方法点睛】等差数列的常见性质 (1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am+an=ap+aq=2ak. (2)若{an},{bn}都是等差数列，k,m∈R,数列{kan+mbn}仍为等差数列. (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍为等差数列(m∈N*). (4)am=an+(m-n)d?d= (m≠n,m,n∈N*) (5)项数为偶数2n的等差数列{an}: ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1). ②S偶-S奇=nd, (6)项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}: ①S2n+1=(2n+1)an+1.② 【例3】(1)(2011·辽宁高考)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1,则a5=_______. (2)已知等差数列{an}中，a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20,则前9项之和等于________. (3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn=324(n6),求数列{an}的项数及a9+a10. 【解题指南】(1)根据S2=S6，先求a4+a5的值，再求a5. (2)根据S3,S6-S3,S9-S6成等差数列求解. (3)根据前6项与最后6项的和求出a1+an,再求n及a9+a10. 【规范解答】(1)∵S2=S6， ∴S6-S2=a3+a4+a5+a6=0， ∴2(a4+a5)=0,即a4+a5=0，∴a5=-a4=-1. 答案：-1 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S3,S6-S3,S9-S6成等差数列，且S3=40，S6-S3=20. ∴S9-S6=20+(-20)=0，∴S9=S6=60. 答案：60 (3)由题意知a1+a2+…+a6=36① an+an-1+an-2+…+an-5=180② ①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216， ∴a1+an=36, 又 ∴18n=324,∴n=18. ∴a1+a18=36,∴a9+a10=a1+a18=36. 【互动探究】若本例中第(1)题条件不变，改为求此等差数列的前多少项的和最大，并求出最大值. 【解析】在本例中第(1)题已求解出a5=-1, 又a4=1,得公差d=-2,∴S4最大.且S4=1+3+5+7=16. 【反思·感悟】1.在等差数列{an}中，若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak是常用的性质，本例第(1)、(3)题都用到了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯a2+a5=a7的错误. 2.本例第(2)题也可先求a1,d,再求a7+a8+a9,但不如用性质简单. 【变式备选】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-am2 =0,S2m-1=38,求m的值. 【解析】∵am-1+am+1=2am,∴am-1+am+1-am2=2am-am2=0， 解得am=0或am=2.又∵a1+a2m-1=2am,