2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：5.3等比数列及其前n项和(共53张).ppt

【例2】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列. (2)在(1)的条件下证明 是等差数列,并求an. 【解题指南】(1)利用Sn+1=4an+2，寻找bn与bn-1的关系. (2)先求bn，再证明数列 是等差数列，最后求an. 【规范解答】(1)由a1=1,及Sn+1=4an+2, 有a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5, ∴b1=a2-2a1=3. 由Sn+1=4an+2 ① 知当n≥2时，有Sn=4an-1+2 ② ①-②得an+1=4an-4an-1， ∴an+1-2an=2(an-2an-1) 又∵bn=an+1-2an，∴bn=2bn-1, ∴{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列. (2)由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1, ∴数列 是首项为 公差为 的等差数列. 【反思·感悟】在证明本题时，首先利用转化的思想，把 Sn+1=4an+2转化为an+1与an的关系，然后作商 或 在作商时，无论使用 还是 都要考虑比值中是否 包含了 这一项，这是很容易被忽视的地方. 【变式训练】数列{an}的前n项和为Sn，若an+Sn=n,cn=an-1，求证:数列{cn}是等比数列. 【证明】∵an+Sn=n, ∴a1+S1=1,得a1= ∴c1=a1-1= 又an+1+Sn+1=n+1, ∴2an+1-an=1,即2(an+1-1)=an-1. 又∵a1-1= 即 ∴数列{cn}是以 为首项，以 为公比的等比数列. 等比数列的性质及应用 【方法点睛】等比数列的常见性质 (1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=ak2; (2)通项公式的推广：an=am·qn-m(m,n∈N*); (3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}, (λ≠0)仍然是等比数列; (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列，公比为qk; (5)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为-1时，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列. 【例3】(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1·a2·a3 =5,a7·a8·a9=10，则a4·a5·a6=( ) (A)5 (B)7 (C)6 (D)4 (2)已知等比数列{an}满足an＞0，n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n (n≥3)，则log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( ) (A)n(2n-1) (B)(n+1)2 (C)n2 (D)(n-1)2 【解题指南】(1)利用a1·a2·a3,a4·a5·a6,a7·a8·a9成等比数列求解. (2)根据a5·a2n-5=an2先求an，再代入求解. 【规范解答】(1)选A.∵a1·a2·a3,a4·a5·a6,a7·a8·a9成等比数列, ∴(a4·a5·a6)2=(a1·a2·a3)(a7·a8·a9)=50, 又an＞0, ∴a4·a5·a6=5 (2)选C.∵a5·a2n-5=an2=22n且an＞0, ∴an=2n, ∴a2n-1=22n-1, ∴log2a2n-1=2n-1, ∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+5+…+(2n-1)=n2. 【互动探究】若本例第(1)题条件改为“a1+a2+a3=40, a4+a5+a6=20”,求数列{an}的前9项之和. 【解析】∵(a1+a2+a3),(a4+a5+a6),(a7+a8+a9)成等比数列, ∴a7+a8+a9=40× =10, ∴S9=40+20+10=70. 【反思·感悟】1.解答本例(1)时,也可用整体代入的方法求解,但不如用等比数列的性质简单. 2.利用等比数列的性质解决问题时,一定要注意每一项的下标,不要犯a2·a5=a7的错误. 【变式备选】在等比数列{an}中，an＞0，若(2a4+a2+a6)a4 =36，则a3+a5=______. 【解析】∵{an}是等比数列,an＞0, ∴(2a4+a2+a6)a4=