实验4 I 型样条.doc

实验4 I 型样条 【实验目的】 1．掌握用MATLAB计算牛顿、拉格朗日、三次样条插值的方法，改变节点的数目，对结果进行初步分析； 2．通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。 【实验内容】 学习牛顿、拉格朗日、三次样条插值的基本原理； 编程实现I型样条插值，采用下列数据，并将所得结果与调用matlab程序后所得结果进行比较。 X = [0 70 130 210 337 578 776 1012 1142 1462 1841] Y = [0 57 78 103 135 182 214 244 256 272 275] 【解】:本实验采用求样条插值的三弯矩法。 样条插值的求解，主要依据下面的三弯矩方程： 对于本实验的I 型样条，另有已知，解方程组 = （2） 解出，然后可得到三次样条。 【计算机求解】:将方程组（2）中（1，，…）用向量定义，（ ，…，1）用向量定义，由前述所给公式和条件，采用追赶法求解方程组（2），确定参数，然后计算分段多项式的四个系数，得到matlab格式分段多项式进行插值。图4-1为其流程图。 图4-1 I型样条插值N-S图 【程序如下】: % [实验四]I型样条 % I型样条是对两个端点附加一阶导数值的样条 function my_splineI % 采样数据 X,Y X = [0 70 130 210 337 578 776 1012 1142 1462 1841]; Y = [0 57 78 103 135 182 214 244 256 272 275]; S = spline_I(X,Y,1,0); % 调用自编程序,这里两个端点一阶导数分别为 % y(0)=1,y(1841)=0 xx1 = linspace(0,1841,50); % 为作图加细横坐标 yy1 = ppval(S,xx1); % ppval 是求分段多项式值的函数, % 注意分段多项式 S 要符合matlab格式 plot(X,Y,o,xx1,yy1,-red); % 作图 text(300,200,I 型样条 \rightarrow,Color,r) hold on % 保留原图，以便与后面调用matlab所作的图形进行对比 %调用matlab自带的程序验证 pp = spline(X,[1,Y,0]); yy2 = ppval(pp,xx1); % 这是专门的分段多项式求值命令(pp的格式要符合要求) plot(xx1,yy2,-); % 作图 %----------------- I 型样条 ----------------------- function sp = spline_I(X,Y,Dx1_1,Dx1_n) % sp = spline_II(X,Y,Dx1_1,Dx1_n) -- I型三次样条插值 % 两端点一阶导数已知 % 输入: X --- 插值点横坐标(行向量) % Y --- 插值点纵坐标(行向量) % Dx1_1 --- 第一个端点的一阶导数值 % Dx1_n --- 最后一个端点的一阶导数值 % 输出: sp --- 样条(即分段多项式,matlab格式) % 参见 P94 三弯矩法的三对角方程组 N = length(X); M= zeros(1,N); % M存二阶导数值,待求 m(1) = Dx1_1; m(N) = Dx1_n; % 两端点一阶导数值(事先给定) h = diff(X); % 求差分(即步长): h(k) = X(k+1) - X(k),k=1,2,...,N-1 % 注意 h 的维数比 X 少 1 g = diff(Y)./h; % g(k) = ( Y(k+1)-Y(k) )/h(k) S = zeros(N-1,4); % S 存 N-1 个分段多项式的系数,待求 % 计算三