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对函数一致连续性的讨论 Discussion of the uniform continuity of the function 函数的一致连续性概念是数学分析中的一个重要概念，但是由于它没有像连续函数、可导函数那样直观的几何意义，所以对一致连续概念只是从字面上掌握了其抽象定义，对其实质则很难透彻理解．本文从一致连续的定义、几何意义两个方面进行了详细阐述，希望能加深对一致连续性概念的理解． 1、对定义的理解 首先给出连续与一致连续的概念【1】： 定义1 函数在区间上连续是指：，，，当： 时，有． 定义2 函数在区间上一致连续是指：，，当： 时，有． （1）由定义可知，在区间上一致连续的函数一定是连续的．事实上，由一致连续性定义将固定，令变化，即知函数在连续，又是区间的任意一点，从而函数在连续．但反之则不成立，即在区间上连续的函数不一定一致连续． （2）比较两个定义可知：函数连续定义中的不仅与有关，还与有关，即对于不同的，一般是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在该区间连续；而一致连续定义中的只与有关，与的选取无关，即对于不同的，是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求在每点的连续要具有“一致性”，即对不同的，能找到共同的，使得当时，有．而所谓共同的，就是所有的最小值，当最小值不存在时，函数就非一致连续． （3）函数一致连续的实质就是，当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上函数值的差的绝对值可以任意小，即，当时，有【5】． （4）要注意函数一致连续的否定叙述 一致连续的否定叙述就是非一致连续，即设函数在区间有定义，若，，：，有，则称函数区间上非一致连续． 总的来说，函数的连续性反映了函数的局部性质，而函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质，两者之间既有区别又有联系。 2、几何意义 我们都知道连续函数的图形是一条连续的曲线，那么一致连续的函数的图形在直观上有什么特点呢？我们通过一致连续的几个定理【2】及非一致连续的两个例子【4】来说明． 定理1 若函数在闭区间上连续，则在上一致连续． 定理2 若函数在开区间上连续，则在上一致连续的充要条件是与都存在． 定理3 若函数在区间上连续，且有斜渐近线，则在上一致连续． 特别地，当渐近线斜率为是，定理3有如下结论： 定理3′若函数在区间上连续，且存在，则在上一致连续． 例1 由定理2知，函数，不一致连续，因为．此时，函数存在一条垂直渐近线，即当时，函数图形越来越陡，接近时，函数图形已接近垂直于轴． 例2 函数，不一致连续，因为不存在，由的图形可以发现，虽然没有垂直渐近线，但在的过程中，函数图形越来越陡，接近时，函数图形接近垂直于轴． （1）由上述定理可知，满足一致连续性条件的函数，当自变量变化很小时，引起函数值的变化也很小，为无穷小量，函数的这种特点表现在图形上就是，区间上一致连续函数的图像是“平缓”地变化的（水平直线是一致连续的“极限”状态）；而由例1、例2可知，非一致连续函数当自变量变化很小时，函数值的变化并不是无穷小量，函数的这种特点表现在图形上就是，非一致连续的函数的图像是“陡峭”的，近似垂直于轴的（垂直直线是非一致连续的“极限”状态）． （2）当接近于某时，函数图像接近于垂直于轴，则函数在以为端点的小区间内一定非一致连续．从而要证非一致连续时，要寻找的特殊点就该在附近取【6】． 3、一致连续的其他判定定理【3】 以下列出一致连续性的一些判定定理，仅给出定理4和定理5的证明，其余定理的证明见相关的参考文献。 定理4 函数在区间上一致连续的充要条件是：对上任意两数列、，只要，就有． 证明：（必要性）因为在上一致连续，所以对，，，当时，有． 任取上的两个数列与并且满足．则对上述，，当时，有，于是，即 ． （充分性）假设在上不一致连续，则，对，，尽管，但是． 特别地，取，则，虽然满足，但是 ．显然，但是，这与已知条件矛盾，得证． 定理4′ 函数在有限区间上一致连续的充要条件是：对上任意两数列，只要是柯西列，则就是柯西列． 注：对数列，若对，，当时，有，则称是柯西数列，简称柯西列． 定理5 若函数在上满足条件： ，， 其中为某一常数，则在上一致连续． 注：函数在上有有界导函数，则在上条件成立． 证明：对，取，对，当时，有 ， 所以在上一致连续． 定理6 已知为右端点，为的做端点，若在和上一致连续，则在上也一致连续． 定理7 单调有界函数在区间（或）上连续，则在上一致连续． 定理8 周期函数只要连续必定一致连续，即设在上连续，且是周期为的周期函数，则在上一致连续． 定理9 函数在开区间上有连续的到函数，且与均存在有限，则在上一致连续． 定理10在区间上一致连续的二函数的和与差仍在上一致连续． 定理11 在有限