对称矩阵的性质及应用.doc

目 录 摘 要 1 关键词 1 Abstract 1 Keywords 1 前言 1 1.对称矩阵的基本性质 2 1.1 对称矩阵的定义 2 1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………3 2.对称矩阵的对角化 4 2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明 4 2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 5 3.对称矩阵的正定性 7 3.1正定矩阵的定义 7 3.2对称矩阵正定性的判别 8 4.应用举例 11 总结 12 参考文献 12 摘 要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等. 关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用 The Properties and Applications of Symmetry Matrix Abstract: The article mainly elaborates the definitions of symmetry matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of symmetry matrices, diagonalization of symmetry matrices, positive definiteness of symmetry matrices and applications in quadratic form, linear transformations and Euclidean space problems etc. Keywords: symmetry matrix; diagonalization; positive definiteness; application 前言 矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点.本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用. 1.对称矩阵的基本性质 在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念. 1.1 对称矩阵的定义 ，记为矩阵的转置.若矩阵满足条件，则称为对称矩阵.由定义知： 1.对称矩阵一定是方阵. 2.位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即，对任意、. 定义2 形式为的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵. 定义3 若对称矩阵的每一个元素都是实数，则称为实对称矩阵.满足，则称为反对称矩阵.由定义知： 1.反对称矩阵一定是方阵. 2.反对称矩阵的元素满足，当时，，对角线上的元素都为零.反对称矩阵一定形如. 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论. 1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明 性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵. 证 设、是阶对称矩阵，即,.则： ，，. 性质2 设为阶方阵，则，，是对称矩阵. 证 因为，则是对称矩阵. 因为，则是对称矩阵，同理可证也是对称矩阵. 性质3 设为阶对称矩阵（反对称矩阵），若可逆，则是对称矩阵（反对陈矩阵）. 证 （1）因为可逆，，，所以是对称矩阵. （2）因为可逆，，，则是对称矩阵. 性质4 任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和. 证 设为矩阵，，由性质2易证是对称矩阵，，则是反对称矩阵. 性质5 设为对称矩阵，与是同阶矩阵，则是对称矩阵. 证 因为,所以是对称矩阵. 性质6 设、都是阶对称矩阵，证明：也对称当且仅当、可交换. 证 必要性：若为对称矩阵，则，又，，因此，、可交换. 充分性：若，则，为对称矩阵. 2.任意一个阶矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量，那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案. 2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 定理1 实对称矩阵的特征值都是实数. 证 设是阶实对称阵，是的特征值，是属于的特征向量，于是有.令，其中是的共轭复数，则，考察等式，其左边为，右边为.故=，又因是非零量，故，即是一个实数. 注意，由于实对称矩阵的特征值为实数，所以