8讲2.8.3分块阵的初等变换求秩习题课(哈工大线性代数课件王宝玲版).ppt

2.8.3 秩的运算性质（2） 秩的运算性质（2） 例1 解 求方幂 可知 所以 例2 A可逆,将A的i,j 两行互换得B, 求 . 解 初等变换与初等阵 例3 其中A可逆,则 * 说明B 的每一列都是齐次线性方程组 AX= 0 的一个解. *例4 A为一子块 尤其要注意 时的特殊情况: 的不同理解: 例5 本节内容提要 ? 利用分块矩阵的初等变换求秩 ? 分块矩阵的初等变换 2.8 分块矩阵的初等变换 ? 分块初等阵 对分块矩阵也可以引进初等变换和 初等矩阵的概念.分块矩阵关于子块的 一次初等变换,可以看作是关于元素的 一批初等变换的合成.我们只以分成4块 的情况简单解释. 设 2.8.1 分块矩阵的初等变换 定义 下面三种针对分块矩阵M 的变形, 统称为分块矩阵的初等变换: 初等行变换 初等列变换 (1)换法: (2)倍法: (3)消法: 这里要假定运算满足可行性原则. 为什么要求P 可逆? 可逆 矩阵 分块初等阵 分块单位阵 一次初等变换 2.8.2 分块初等阵 换法: 倍法: 消法: 对分块矩阵进行一次初等行(列)变换, 相当于给它左(右)乘以一个相应的分 块初等矩阵： 换法: 消法: 倍法: 分块初等变换不改变分块阵的秩. 消法分块初等变换保持行列式值不变. 用分块初等变换求逆. 对分块阵进行一次初等行(列)变换,相当 于对原矩阵进行一系列初等行(列)变换. 分块行 分块列 例1 求 ,其中A，B 可逆. 解 行 行 行 总结：常用的分块矩阵求逆公式 设 A, B 都是可逆方阵, 则有下列公式. 证 例2 用分块方法证明 其中A、B为n阶方阵. 或 例3 证 证明 其中A 为n阶可逆矩阵,B为m阶方阵. (行列式第一降阶定理) 例4 证明|Em -AB| = |En -BA| ,其中 A 为m×n阶矩阵, B为n×m阶阵. 证 利用上式可得 时可见书上的说明. 为任意数. 注 本例的结果可以把m阶的行列式转化 为n阶的行列式计算, 此时可称为 (降阶公式). 尤其是当n =1时,即A为1列B为1行时, 等式的右端即为1个数. 例5 计算 解 复习 秩的运算性质（1） 若A 是m×n 矩阵,则 1. 0≤r(A)≤min{m,n} 2. r(AT)=r(A) 3. r(kA)= 0 k = 0 r(A) k≠0 4. r(A1)≤r(A),(A1为 A的子阵) 证 设 5. 则存在可逆阵 使 令 6. 证 设 则存在可逆阵 使 令 = Er1 0 0 0 0 0 Er2 0 0 0 0 0 P1CQ2 例1 证 7. 8. r(A+B)≤r(A)+r(B) 证 证 r(A)=r(A 0)= r(A AB)≥r(AB) 例2 9. 证 r(A)+r(B)≤ 且 AB = 0 时， 10.A为 矩阵,B为 矩阵, 且 AB = 0 时,有 5. 6. 7. 8. 且 AB = 0时， 10.A为 矩阵,B为 矩阵,则 9. 矩 阵 基本运算 逆 矩 阵 初等变换 秩 分块矩阵 线性运算(加法、数乘) 乘法→方幂(求方幂的方法) 转 置 定义及运算性质 求 法 伴随矩阵法 初等变换法 初等阵 等秩、等价，行阶梯、标准形 定 义 性 质10条 求 法：初等(行)变换 加, 数乘, 乘,幂, 转置, 逆, 初等变换 行列式乘法公式 定义法 判 别5条 应用：线性方程组 可逆的判别(5条) A与E 等价,PAQ=E, 为初等阵 初 行列 使 可逆 可逆 A E 伴随矩阵 1.基本公式: 2.求逆:若A可逆, 3.性质: (n?2) (n?2) 1.求方幂:4,5,11,22,23(注意秩为1的矩阵). 2.求逆:8(矩阵多项式方程 )14,16. 4.初等变换初等阵:21,32.补充题. 5.涉及伴随矩阵:25,26,34. 6.求秩:证明秩的等式:19,20. 7.分块阵:21,27,30,31,32,33. 8.证明题:17,18,28,29. 3.解矩阵方程:(考查矩阵运算及性质) 9,10,13,15(先化简). 第二章常见的题型 * * *