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不等式的几何解释欣赏
数学有价值，也有趣。均值不等式的几何解释就很令人称奇.
一、利用赵爽弦图的模型解释
初中阶段，由右图中面积相等关系，可以得到勾股定理的简单解释。即
由整体面积等于部分面积的总和可得：
，整理得.
我们再根据弦图中的面积不等关系，解释均值不等式。
图中4个三角形的面积之和小于等于大正方形的面积，当时，三角形的面积之和等于大正方形的面积.
所以，即，当且仅当时，等号成立.
二、在梯形中构造模型解释
如图，在直角梯形中，∥，,.
（1）是梯形的中位线，
所以.
（2）点在上，点在上，∥，且直角梯形∽.
由对应边成比例，得，解得.
（3）点在上，点在上，∥，且直角梯形与直角梯形面积相等.
作于，于，则∽，
所以 .
因为直角梯形与直角梯形面积相等，
所以 ，
即 ，解得.
观察图象，由，得.
三、构造圆中的线段解释不等式
如右图所示，是圆的直径，为上动点，垂直交圆于、两点，连结，为圆上的点，，连结，过作垂直，交于.设，.
不妨设.
图中有四条线段的长度分别等于不等式中的四个数，你能看出来这四个数分别对应哪条线段么？
容易看出圆的半径等于，利用三角形与三角形相似，得，即.（图中的，）
注意，在三角形中，，.
所以，..
又，在三角形中，利用三角形与三角形相似，可得，
所以，所以.
以下就简单了，观察与，与，与每组线段所在的直角三角形，利用直角三角形中斜边大于直角边就可以得到不等式的解释了.
当为圆心时，等号成立。
四、再换一种方法构造圆中的线段解释不等式
如右图所示，是圆的直径，为延长线上一点，垂直交圆于、为圆的切线，过作垂直于，垂足为，连结，
设.
所以圆的半径为，
，
，
可以证明与相似，所以，
即，.
再利用与相似，得，
所以.
同理，以下观察与，与，与每组线段所在的直角三角形，利用直角三角形中斜边大于直角边就可以得到不等式的解释了.
这个图形无法解释等号成立的条件，但可以看到变化趋势。
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