一.第三讲随机变量的函数与特征函数.ppt

若有大量相互独立的随机变量的和 其中每个随机变量Xi对总的变量Y的影响足够小时，则在一定条件下，当 时，随机变量Y是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布律无关。 结论：任何许多独立作用之和的物理过程，都趋于高斯分布。 （3）中心极限定理 2）二维高斯分布 设X是均值为 ，方差为 的正态随机变量，Y是均值为 ，方差为 的正态随机变量，且X,Y的相关系数为 ，则二维随机变量(X,Y)为一个二维正态随机变量，其联合概率密度函数为 设n维随机变量向量为Y，数学期望和方差向量为m和s，它们具有如下形式： Y= m= s= 协方差矩阵C C = 则n维联合概率密度函数为 三. 分布 1) 中心 分布 若n个互相独立的高斯变量X1, X2,…, Xn的数学期望都为零，方差为1，它们的平方和 的分布是具有n个自由度的 分布。 其概率密度为 当互相独立的高斯变量Xi的方差不是1，而是 时，Y的概率密度为 性质：两个互相独立的具有 分布的随机变量之和仍为 分布，若它们的自由度分别为n1和n2，其和的自由度为n= n1+n2。 2) 非中心 分布 若互相独立的高斯变量Xi(I=1,2,…,n)的方差为 ，数学期望为 ，则 为n个自由度的非中心 分布。 其概率密度为 称为非中心分布参量 性质：两个相互独立的非中心 分布的随机变量之和仍为非中心 分布，若它们的自由度为n1和n2，非中心分布参量分别为 和 ，其和的自由度为n= n1+n2，非中心分布参量为 四. 瑞利分布和莱斯分布 1) 瑞利分布 对于两个自由度的 分布，即 Xi(I=1,2)是数学期望为零，方差为 且相互独立的高斯变量，则 为瑞利分布。 R的概率密度为 对n个自由度的 分布，若令 则R为广义瑞利分布 2) 莱斯分布 当高斯变量Xi(I=1,2,…,n)的数学期望为 不为零时， 是非中心 分布，而 则是莱斯分布。 对于任意n值有 3.4.1 随机序列收敛 设有随机变量X及随机变量序列{Xn} (n=1,2,…)，均有二阶矩，且 则称随机变量序列{Xn} 依均方收敛于X，或者说，随机变量X是随机变量序列{Xn} 在n趋于无穷时的均方极限。（m.s.收敛） 3.4随机序列收敛 如果随机变量序列{Xn}满足 那么该序列k阶收敛于X。 以概率1收敛（a.e.收敛，准处处收敛，强收敛） 若随机变量满足 的概率为 1，则称随机变量序列Xn以概率1收敛于 X，记为 依概率收敛（p收敛，随机收敛） 若对于给定的正数 ，随机变量序 列Xn满足 则称随机变量序列Xn依概率收敛于X 分布收敛（d收敛，弱收敛） 若Xn的概率分布函数在x的每一连续点 收敛于X的概率分布函数，则称随机变量序 列依分布收敛于随机变量X，记为 四种收敛的关系 随机变量的抽样 均匀分布到其它分布 高斯分布，中心极限定理 利用计算机的产生伪随机数（不能产生连续点，由位数决定） 加同余法 yn+1=yn+c（mod M） xn+1=yn+1/M 乘同余法 yn+1=ayn（mod M） xn+1=yn+1/M M和初始y0为正整数，M越大越好 3.1 随机变量的函数变换 在随机试验E中，设样本空间为S={ei},对每一个试验结果ei，对应于X的某个取值X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei)与X(ei)有如下关系： 显然，Y的概率特性与X是有关系的。 第三讲 随机变量的函数与特征函数 3.1.1 一维变换 若随机变量X、Y满足下列函数关系 如果X与Y之间的关系是单调的，并且存在反函数，即 若反函数h(Y)的导数也存在，则可利用X的概率密度求出Y的概率密度。 综合上述讨论，得到 如果X和Y之间不是单调关系，即Y的取值 y可能