概率与数理统计(八).docVIP

第八章 假设检验 一、假设检验的基本思想和概念 1、基本思想 我们以教材例8-1来说明假设检验的基本思想和概念。 例：味精厂用一台包装机自动包装味精，已知袋装味精的重量X～N(,0.01)。机器正常时，其均值=0.5公斤，某日开工后，随机抽取9袋味精，其净重（公斤）为： 0.497，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511，0.520，0.515，0.512 问这台包装机是否正常？ 此例随机抽样取的9袋味精重量都不是正好0.5公斤，这种实际重量和标准重量不一致的现象，在实际中是经常出现的。造成这种差异不外乎有两种原因：一是偶然因素影响，如电压波动，金属部件热胀冷缩，称量仪器误差等，称为随机误差，随机误差是无法避免的；二是条件因素影响，如机器缺陷，部件损耗等，称为条件误差，那是我们要设法解决的。如果我们断定标准重量已不是0.5公斤，那么原因很可能是第二种原因造成的包装机器工作不正常。 问题就是如何根据样本观测值推断 “=0.5”是否为真？ 我们不妨先假设包装机是正常的，在统计中用如下符号表示： :==0.5, : 其中为待检验的假设，称为原假设；是与原假设相对立的假设，称为备择假设。我们的任务就是要依据样本观测值在这两对立的假设中作出选择。 由于样本均值是的一个很好的估计，故当为真时，|-0.5|应很小， 如果|-0.5|过分大，我们应怀疑不正确而拒绝接受。现在的问题①究竟|-0.5|取值在什么范围才算“比较大？”②“|-0.5|比较大”这个事件概率有多少？ 如果概率很小可以认为是“不可能”发生的。 我们的办法是构造一个适当的统计量，这里我们构造 u= 当为真时， u～N(0，1)，对于给定的很小的数，例如取=0.05 P{|u|P{||}= {||}是一个小概率事件，小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。 当=0.05我们查附表得==1.96,又n=9,=0.015,由样本计算得 =0.511 |u|=||=||=2.21.96 小概率事件居然发生了，这与“:==0.5”的推断矛盾，于是拒绝，而认为这台包装机不正常。（类似于反证法） 2、统计假设的概念 在许多实际问题中，常需要根据理论与经验对总体X的分布函数或其所含的一些参数作出某种假设，这种假设称为统计假设。 “|u|”这个事件虽是小概率事件，但小概率事件它仍然可能发生（发生的概率，因此若根据|u|就拒绝也有可能犯错误，就是犯错误的概率很小，仅为，换句话说当|u| 时，拒绝这一判断可信度是1-α 这里我们称u=为检验统计量，而称区域W={}为拒绝域。 W={}=（，-），） 在假设检验中，小概率α 常取0.05,0.01,或0.1, α 称为显著性水平。如在上例中可以说包装机的包装规格与0.5公斤有显著差异，而显著性水平为0.05。作为拒绝域的边界数值，称为临界值，如W={}时，临界值为-与；当α=0.05，临界值为-1.96与1.96。 3、两类错误 数理统计的任务是用样本去推断总体，即从局部去推断整体，当然有可能犯错误。 一类错误是：在成立的情况下，样本落入了拒绝域W，因而被拒绝，称这种错误为第一类错误，又称拒真错误，一般记犯第一类错误的概率为α。 另一类错误是：在不成立的情况下，样本未落入拒绝域W，因而被接受，称这种错误为第二类错误，又称取伪错误，并记犯第二类错误的概率为β. 我们借用条件概率的表示方法简单如下: 第一类错误(拒真) P{拒绝为真}=α 第二类错误（取伪） P{接受不真}=β 二、正态总体均值的假设检验 1、u检验（重点） （1）方差已知，单个正态总体均值检验 设，是从总体N(中抽取的一个样本，是已知常数，假设： :=, : 其中为已知数 构造检验统计量 u= 在假设成立时u～N(0,1)，拒绝域W=（，-），），若样本算出的u值落在W内，则作出拒绝，否则认为与相容。 （2）方差已知时，两个正态总体均值的检验（了解） 设X～(,Y～N(，其中，为已知常数，和分别是取自X和Y的样本，且互相独立。假设： :=, : 检验假设 =，等价于假设，而是的好的估计量，且当为真时，有 u=～N(0,1) 于是对于给定显著水平α，查表可得临界值使 P{|u|}=α 从而得拒绝域W=(-，)（，+）.再由样本计算u的观测值 若uW，则拒绝，否则就认为与相容. 2、t检验（重点） （1）方差未知时，单个正态总体的均值检验 设，是从总体N(中抽取的一个样本，其中是未知，假设： :=, : 其中为已知数 由于是未知，故不能用u=进行检验，这时最自然的想法就是用样本方差s2替代总体方差，因而构造检验统计量 t= 前已经知