第14章随机变量的数字特征.docVIP

第7章 随机变量的数字特征 随机变量的分布函数（或分布律、密度函数）全面描述了随机现象的统计规律，然而对许多实际问题，随机变量的分布函数或概率密度函数并不容易求得；另一方面，有一些实际问题往往并不要求知晓随机变量的确切分布，而只要求掌握它的少数几个特征指标就够了，这些特征指标能集中地反映随机现象的特性。例如分布的中 心位置、分散程度等，文献上称之为随机变量的数字特征。本章讨论随机变量的数字特征，其中最重要的是随机变量的期望和方差，以及两个随机变量的协方差和相关系数。 §7.1 数 学 期 望 7.1.1 离散型随机变量的数学期望 从数据的平均数说起，设有10个数据 3，3，3，3，4，4，4，5，5，6 ，其平均数 平均数描述了数据的中心位置，可以将它一般地概括成简单公式： （7-1） 其中是数据所有不同的取值，在本例为3，4，5，6；为取值的频率，在本例为. 现在将公式（7-1）推广到随机变量的情形。设离散型随机变量有分布律： 其中，将公式（7-1）中换为（频率换为概率），并将记为，即得 （7-2） 称为随机变量的数学期望，简称期望或均值。式（7-2）实际上是随机变量的取值以概率为权的加权平均；如果当求和为无限时，数学上要求，以保证值不因求和次序改变而改变。 例1-1 甲、乙两人打靶，成绩（环数）分别记为、，它们的分布律分别为 8 9 10 0.4 0.3 0.3 8 9 10 0.1 0.7 0.2 试评定他们的成绩好坏。 解 由式（7-2）有：= 8+90.3+100.3=8.9（环） = 80.1+ 90.7+100.2=9.1（环） 这意味着，如果进行很多次射击，那么，平均起来甲每枪射中8.9环，乙每枪射中9.1环，因此可以认为乙射手的成绩要好些. 例1-2 设随机变量，求. 解 特别，当时，随机变量服从0—1分布，这时 例，求. 解 注意到服从泊松分布的随机变量分布律为 所以 关于随机变量的函数的数学期望，我们有以下定理： 定理7-1 设为实连续函数，离散型随机变量的分布律为 则随机变量的数学期望为 （7-3） 例 1-4 设的分布律 0 1 2 1/4 1/4 1/2 求 解 例 1-5 （分赌本问题）这是历史上有名的分赌本问题。甲乙两人各有赌本元，约定谁先胜三局就得全部赌本元。假定甲乙两人在每一局取胜的概率相等。现已赌三局，结果是甲二胜一负，由于某种原因赌博告停，问甲乙两人如何分赌本元才合理？ 解 如果甲乙两人平均分赌本元，对甲是不合理的；但能否依据现在的胜负结果来分呢？仔细推算也是不合理的。当时著名数学家提出一个合理的分法是：如果赌局继续下去，他们各自的期望所得就是他们应该分得的。 易知，最多只需再赌两局就能决出胜负。两局全部可能的结果有四种： 甲胜，甲胜 甲胜，乙胜 乙胜，甲胜 乙胜，乙胜 “甲胜，乙胜”表示第一局甲胜第二局乙胜，其余类推。由等可能性知 {甲最终获胜}，{乙最终获胜} 记、分别为甲、乙各自的期望所得，则、的分布律为： 0 1/4 3/4 0 3/4 1/4 按期望定义，甲、乙期望所得分别为 这就是甲、乙各自应该分得的赌本。 对于二维离散型随机变量，计算和的方法是：先求与的边缘分布律，再按式（7-2）计算和. 例1-6 已知二维随机变量的联合分布律如下，求与的数学期望。 0 1 2 1 0.2 0.1 0.2 2 0.1 0.3 0.1 解 根据随机变量联合分布律，可得与的边缘分布律如下： 1 2 0.5 0.5 0 1 2 0.3 0.4 0.3 于是由式（7-2），有 . 7.1.2 连续型随机变量的数学期望 对于连续型随机变量，由于，因此用（7-2）来定义它的数学期望已没有意义。在这种情况下，我们