等差等比数列的概念和性质(教师版).docVIP

等差、等比数列的概念的性质 一．基本概念 （一）、等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数 称为等差数列的公差. 2.等差数列的单调性 当d0时，是递增数列；当d=0时，是常数列数列； 当d0时，是递减数列. 3.通项公式与前项和公式 ⑴通项公式，为首项，为公差. ⑵前项和公式或. 4.等差中项 如果成等差数列，那么叫做与的等差中项. 即：是与的等差中项，，成等差数列. 5.等差数列的判定方法 ⑴定义法：（，是常数）是等差数列； ⑵中项法：()是等差数列. 6.等差数列的常用性质 ⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为. ⑶；(,是常数)；(,是常数，) ⑷若，则； ⑸若等差数列的前项和，则是等差数列； ⑹当项数为，则； 当项数为，则. （7）若，则 （8）若，则 ㈡、等比数列 1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数 列，常数称为等比数列的公比. 2.通项公式与前项和公式 ⑴通项公式：，为首项，为公比 . ⑵前项和公式：①当时，；②当时，. 3.等比中项 如果成等比数列，那么叫做与的等比中项. 即：是与的等比中项，，成比差数列. 4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：（，是常数）是等比数列； ⑵中项法：()且是等比数列. 5.等比数列的常用性质 ⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列； ⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为. ⑶ ⑷若，则； ⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列. 二．题型选讲 类型1：利用等差等比数列的性质计算 【例1】已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差 ∴.选B。 变式1： (09广东的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数， 所以,故,选B 变式2: 设等差数列的前项和为，若则 解析 为等差数列，答案: 9 变式3：已知等比数列满足，且，则当时， A. B. C. D. 【解析】由得，，则， ，选C. 类型2： 利用公式求基本量计算 在等差等比数列中指涉及到五个基本量，即，“知三求二”是一种基本运算，一般式通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，对于等比数列来说，要注意分类讨论思想的应用。 【例2】公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解析】得得,再由 得则,所以,.故选C 变式1：设等比数列的公比，前项和为，则 ． 解析对于,,,则数列的前10项和是 （D）中，是其前项和，并且， ⑴设数列，求证：数列是等比数列； ⑵设数列，求证：数列是等差数列； ⑶求数列的通项公式及前项和。 分析和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径． 解(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a． (根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练) a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 由①和②得，数列{b}3，公比为2的等比数列，故b=3·2． 当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式． 综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2 点评：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。 2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用． 变式：设数列的前项和为 已知 （I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。 解：（I）由及，有 由，．．．① 　则当时，有．．．．．② ②－①得 又，是首项，公比为２的等比数列． （II）由（I）可得， 　　　数列是首项为