CourseData0310251518imgDefineByContent自控原理4至5章例题.doc

第四章 根轨迹 一．例题 1．应用根轨迹法确定如图4-7所示系统无超调响应的值范围。 解 从图4-1求得系统的开环传递函数为 化成标准形式，得 式中 从而可以利用根轨迹绘制规则，绘制根轨迹 （1）系统有两个开环极点；以及一个开环零点。因为，系统具有两条根轨迹其中一条趋于无穷远处。 （2）渐近线与实轴正方向的夹角 （3）计算根轨迹在实轴上的分离点和会合点坐标。 由计算根轨迹在实轴上的分离点与会合点坐标的关系式 求得 式中为分离点或会合点坐标。因为分离点与会合点均位于实轴，所以为实数。 将、及代入上式，经整理得 解得分离点坐标及会合点坐标。 给定系统的根轨迹图如图4-8所示，它的一部分是一个以零点为圆心、以零点到分离点（或会合点）的距离为半径的圆。 （4）确定给定系统无超调响应的值范围。 系统无超调响应意味着系统的特征根全部为实数。为此，首先写出系统特征方程式 从图4-8可见，在根轨迹图上的0至段及至段。两个区段对应的值分别为0至及至，其中为分离点对应的值，而为会合点对应的值。显然，及为会合点对应的值。显然，及是使系统无超调响应时取值范围的两个边界值。 由特征方程式解出 分别将及代入上式，求得边界值 由此求得系统无超调响应的值范围是 2． 设负反馈系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。 解 渐近线与实轴的交点 渐近线与实轴正方向的夹角为 分离点与会合点 由 得 可以验证这两个点均为根轨迹上的点。 从而根轨迹图如图4-2所示。注意该题的根轨迹不要画成图4-3的形式 图4-2 图4-3 3．已知系统的开环传递函数为 （1）绘制系统的根轨迹图； （2）为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试确定值范围。 解 绘制根轨迹图的开环传递函数是利用写成零极点形式的开环传递函数，所以本题首先需要进行变换，然后利用绘制规则进行绘制；系统的阶跃响应出现衰减振荡的形式也就是说，系统的根轨迹处于复平面时对应的值范围。 (1) 绘制系统的根轨迹 系统的开环传递函数为 其中， 1）开环极点（）：，，；无开环零点；因此3条根轨迹分支将趋于无穷远点。 2）实轴上根轨迹为区间段。 3）渐近线与实轴夹角为 渐近线与实轴交点为 4）分离点，根据，可得，解得 ，可以验证不满足相角条件，所以为系统分离点，对应的 5）根轨迹与虚轴交点， 利用劳斯判据 系统特征方程式为 列劳斯表 第一列出现零时，即时系统处于临界稳定，其对应的临界开环增益为 相应的辅助方程为 对应的 求交点也可用如下方法 令，代入特征方程得，解得 根据以上条件，可以绘制出系统根轨迹图如图4-4所示。 (2)系统具有衰减振荡时的值即为根轨迹在复平面内时对应的范围。 系统根轨迹处于分离点时（与虚轴相交时，所以，系统具有衰减振荡时值范围为 4．设一单位负反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹图，并判断其闭环稳定性。 若不稳定，试设计一个串连校正装置，使其闭环稳定。 解：（1）极点为 实轴上的根轨迹为 渐近线与实轴的交点为 ，夹角为，0 根轨迹略 不稳定 （2）选择串连校正装置函数为 5．已知单位反馈系统的开环传递函数为，要求系统的闭环极点有一对共轭复极点，其阻尼比为。试确定开环增益，并近似分析系统的时域性能。 解 ，；根轨迹分离点为，对应的与虚轴的交点为，对应的，其根轨迹图见图4-10所示 设复极点为 根据阻尼比要求 先试凑性地取，得；此时 不满足相角条件，因为，所以要使加大，使与开环极点形成的角度加大。 取，则，此时；继续加大，取，则，此时。因此共轭复数极点为，此时 根据根轨迹的根之和规则可得另一极点为，由此可以认为是系统的主导极点。 系统的闭环传递函数可近似的表示为 可以近似地运用典型二阶系统估算系统的时域性能指标 超调量 调节时间 6．某单位负反馈系统的开环传递函数为： ， 试绘制系统的根轨迹。 解：由1＋G(s)=0，得 ： 1＋＝0 ＝ 所以有 ,, 其根轨迹为图4-6 7. 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 试绘制以为参变量的参量根轨迹的大致图形。 解 （1）可以求得给定系统的特征方程式为 进一步整理，用不含的多项式除方程的两边，得 式中 上式已经具有常规根轨迹的标准形式，可以利用常规根轨迹的绘制法则，绘制系统根轨迹。 （2）系统等效开环传递函数，，故给定系统对于具有三条根轨迹及三条渐近线。三条渐近线在实轴上交点的坐标为 三条渐近线与实轴正方向的夹角分别为。 （3）根据方程式 计算根轨迹与实轴相交处（分离点）的坐标，得 （4）在给定系统得特征方程式中，令，求得方程组 可以解出根轨迹与虚轴相交处的值为 从而解得 给定系统参量根轨迹的大致图形如图4-7所示。从图可见，参量时