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第二章 数值分析
2.1 已知多项式通过下列点:
-2 -1 0 1 2 3 31 5 1 1 11 61
试构造一多项式通过下列点:
-2 -1 0 1 2 3 31 5 1 1 11 1
答案:.
2.2 观测得到二次多项式的值:
-2 -1 0 1 2 3 1 1 6 15
表中的某一个函数值有错误,试找出并校正它.
答案:函数值表中错误,应有.
2.3 利用差分的性质证明.
2.4 当用等距节点的分段二次插值多项式在区间近似函数时,使用多少个节点能够保证误差不超过.
答案:需要143个插值节点.
2.5 设被插值函数,是关于等距节点的分段三次艾尔米特插值多项式,步长.试估计.
答案:.
第三章 函数逼近
3.1 求在空间上最佳平方逼近多项式,并给出平方误差.
答案:的二次最佳平方逼近多项式为
,
二次最佳平方逼近的平方误差为
.
3.2 确定参数,使得积分
取最小值.
答案:
3.3 求多项式在上的3次最佳一致逼近多项式.
答案:的最佳一致逼近多项式为.
3.4 用幂级数缩合方法,求上的3次近似多项式,并估计.
答案:,
3.5 求上的关于权函数的三次最佳平方逼近多项式,并估计误差和.
答案:,
,.
第四章 数值积分与数值微分
4.1 用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分,并与精确值比较.
答案:计算结果如下表所示
0. 5 0. 500 000 0. 500 000 0. 500 000 0. 5 0. 333 333 0. 250 000 0. 208 333 0. 5 0. 333 333 0. 250 000 0. 200 000 精确值 0. 5 0. 333 333 0. 250 000 0. 200 000
4.2 确定下列求积公式中的待定参数,使得求积公式的代数精度尽量高,并指明所确定的求积公式具有的代数精度.
(1)
(2)
(3)
答案:(1)具有三次代数精确度(2)具有二次代数精确度(3)具有三次代数精确度.
4.3 设,确定求积公式
中的待定参数,使得该求积公式的代数精确度尽量高,并给出余项表达式.
答案:,,其中.
4.4 设是以为插值点的的二次插值多项式,用导出计算积分的数值积分公式,并用台劳展开法证明:.
答案:.
4.5 给定积分
(1)运用复化梯形公式计算上述积分值,使其截断误差不超过.
(2)取同样的求积节点,改用复化辛浦生公式计算时,截断误差是多少?
(3)要求的截断误差不超过,若用复化辛浦生公式,应取多少个节点处的函数值?
答案:(1)只需,取9个节点,
(2)
(3)取7个节点处的函数值.
4.6 用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分.要求用事后误差估计法时,截断误不超过和.
答案:使用复化梯形公式时,满足精度要求;使用复化辛浦生公式时,满足精度要求.
4.7(1)利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式,
其中余项为 .
(2)利用上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式
,
其中 ,
而 .
4.8 用龙贝格方法计算椭圆的周长,使结果具有五位有效数字.
答案:.
4.9 确定高斯型求积公式的节点,及系数,.
答案:,,,.
4.10 验证高斯型求积公式的系数及节点分别为
.
第五章 解线性方程组的直接法
5.1 用按列选主元的高斯-若当消去法求矩阵的逆矩阵,其中.
答案:
5.2 用矩阵的直接三角分解法解方程组
答案: ,,,.
5.3 用平方根法(Cholesky分解法)求解方程组
答案: ,,.
5.4 用追赶法求解三对角方程组
答案:,,,.
第六章 解线性代数方程组的迭代法
6.1 对方程作简单调整,使得用高斯-赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛,并取初始向量,用该方法求近似解,使.
答案:近似解为.
6.2 讨论松弛因子时,用SOR方法求解方程组
的收敛性.若收敛,则取迭代求解,使.
答案:方程组的近似解为,,.
6.3 给定线性方程组,其中
,证明用雅可比迭代法解此方程组发散,而高斯-赛得尔迭代法收敛.
6.4 设有方程组,讨论用雅可比方法和高斯-赛得尔方法解此方程组的收敛性.如果收敛,比较哪种方法收敛较快.
答案:雅可比方法收敛,高斯-赛得尔方法收敛,且较快.
6.5 设矩阵非奇异.求证:方程组的解总能通过高斯-赛得尔方法得到.
6.6 设为对称正定矩阵,对角阵.求证:高斯-赛得尔方法求解方程组时对任意初始向量都收敛.
第七章 非线性方程求根
例7.4 对方程确定迭代函数及区间,使对,迭代过程均收敛,并求解.要求.
答案:若取,则在中满足收敛性条件,因此迭代法
在中有惟一解.取,.
取,在上满足收敛性条件,迭代序列在中有惟一解.取,
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