数学传统与数学问题.docVIP

一数学发展的内部力量 1知识成分 知识成分包括问题、方法、符号、命题及现有理论。数学向前发展离不开数学理论现有的发展水平。对现有的数学概念、命题认识的深化、对现有的数学方法的改进、符号的调整及理论体系的建立等问题的研究是推动数学向前发展的重要动力源泉。 2数学传统 所谓数学传统，是指关于如何去从事数学研究的总的观念或思想。数学家总是作为数学共同体的一员去从事自己的研究活动的，而数学共同体拥有共同的数学传统。数学家个体从事数学研究从选择课题到研究方法与表达方式及最终对其研究结果的评价均与其信奉的数学传统有关，可以说，数学传统是推动数学发展的重要力量。 数学传统包括核心思想、规范性成分、启发性成分。 （1）核心思想。是指关于数学本质的总的认识，即总的数学观。如关于“什么是数学？”的问题，以及“数学是演绎得科学”的回答都涉及的数学本质的认识。又如关于数学与真实世界的关系数学家对数学的本质所持的看法、信念对开展数学基础问题及其它有关问题的研究是有着决定性的影响的。有些数学家持有“柏拉图主义数学观”，有的持有“数学模式观”、“数学工具观”、“经验主义数学观”等。 （2）规范性成分。是指关于如何去从事数学研究的各种规范或准则。 数学家的工作目标是要获得这样的命题，它们是借助于数学共同体一致接受的语言得到表达的，是对于为数学共同体一致接受的问题的解答，并建立在为数学共同体一致接受的论证之上，理论成果的评价符合数学共同体共有的价值标准。现代数学传统中的规范性成分，从整体上分析可以认为：现代数学研究是在形式的水平上进行的，即理论体系建立在公理化基础之上，避免使用自然语言，完全在符号水平上推演；理论基础建立在集合论之上；所研究的问题的重要性不仅取决于它们的实际意义，而且也取决于它们的数学意义。 （3）启发性成分。对从事数学研究活动具有启发作用的观念、思想。具体包括数学问题的概括与提出，如何选择问题解决合适有效的方法，如何下定义、表述定理，如何构建理论体系，如何构建理论的基础及数学知识应用的方法、策略等。现有的数学知识与数学传统的关系特别是矛盾关系是推动数学发展的重要的动力因素。这即是指，数学家们并不是盲目地去从事一般化、严格化、系统化等方面的研究工作的，而是由数学发展的现状所决定的。 二数学问题 1数学内部问题的表现形式 （1）常规问题：在一定的知识背景下，顺应数学内在逻辑的发展和推演所产生并能用原有知识解决的数学问题。 （2）反常问题：此类问题产生于一定的理论框架下，但不能在原框架下得到解决，需要另辟蹊径，开拓新的领域，寻求新的方法。 （3）悖论问题：表现为数学发展中的一些矛盾。这类问题的出现是阶段性的，它是数学前进中各种障碍积淀的产物，尽管它的出现总是伴随着危机，但一但危机解决，就会极大的促进数学的发展。 （4）数学猜想：所谓数学猜想是数学研究者根据某些已知的事实材料和数学理论知识，通过或然性的推理，对未知的对象所作出的一种似真推断。 数学猜想有两个明显的特征：其一，结论或然性，即所得结论可能被肯定，也可能被否定，还可以是不可判定的。其二，结论的创新性。 数学猜想作为问题形式的一种，首先表现为对结论的发现，而在数学中发现结论往往比论证结论更重要，通过对猜想的证明或否证往往带来众多的理论上的副产品，甚至形成新的理论与方法。 2讨论数学问题在数学研究中的作用 （1）数学问题是数学发展动力的外显形式。数学问题的不断提出和解决，使得人们对某一部分的研究作为一种认识成果被确定下来，这些成果的汇集就会不断丰富数学理论宝库。没有数学问题，特定领域的数学理论就不可能形成。 （2）重要数学问题的提出与解决标志着数学真正的进步 由数学问题所形成的逻辑链既在纵向上反映着数学的连续性，传统性，又在横向上反映着数学的广泛性、整体性。数学问题的这种关联也是数学得以发展的基础和条件。数学的进步离不开重大数学问题的提出与解决。 （3）数学问题是数学研究的逻辑起点 数学问题在数学家个人的工作中占有十分重要的地位，提出问题本身就是一种创造性的工作，提出一个问题比解决一个问题更为重要。因为解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，新的理论，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步，问题构造了科学研究的实际出发点。 （4）问题的提出和解决，可看成是数学发展的基本形式 数学家对源于数学外部和数学内部的大量问题的解决，获得了理论形态的概念、命题及相应的方法。在问题解决过程中又产生了新的问题，而对这些新问题的研究，又使人们获得了新的理论知识和方法以及更新的问题，从而推动着数学向前发展。数学问题的提出与解决是数学发展的基本形式。 3数学问题在数学教学中的作用 “问题解决”是当今国际数学教育现代化潮流中的