随机变量模型的确定.docVIP

第十一章 随机变量模型的确定 11.1 随机变量模型的确定 三种情形：. 随机变量分布的类型已知, 需要由观测数据确定该分布的参数 ②. 由观测数据确定随机变量概率分布类型, 并在此基础上确定其参数 ③. 由已有的观测数据难以确定该随机变量的理论分布形式, 则定义一个实验分布 1 分布参数的确定 分布参数的类型 (1) 位置参数(记为) 确定分布函数取值范围的横坐标。当改变时, 相应的分布函数仅仅向左或向右移动而不发生其它变化, 因而又称为位移参数。 例如, 均匀分布函数U(a,,b), 其密度函数为: 其中参数定义为位置参数, 当改变时(保持不变), 向左或向右移动。 (2) 比例参数(记为)： 决定分布函数在其取值范围内取值的比例尺。 的改变只压缩或扩张分布函数, 而不会改变其基本形状。 例如, 指数分布函数EXPO(), 其密度函数为: (3) 形状参数(记为α)：确定分布函数的形状, 从而改变分布函数的性质, 例如, 韦伯分布Weibull(), 其密度函数为: 当改变时, 其形状发生很大的变化。 随机变量, 如果存在一个实数, 使与具有相同的分布, 则称与仅仅是位置上不同变量; 如果对于某个正实数, 使得与具有相同的分布, 则称与仅仅是比例尺不同的随机变量; 如果与具有相同的分布, 则称与仅在位置与比例上不同。 2. 分布参数的估计 最大似然估计: 设参数, 观测数据为 在离散分布情形, 可令为该分布的概率质量函数, 定义似然函数为: 则是联合质量函数, 的最大似然估计值是使取最大值的, 即对于所有可能的值, 。 在连续分布情形, 令为该分布的概率密度函数, 其似然函数定义为: 例：指数分布, 被估计的参数, 其分布密度函数为 由 为求使取最大值的, 先对取自然对数: 由于是严格递增的, 取最大值等价于取最大值, 为此, 对求极值: 可得 又由 当时, 由于为正, 可见, 因而为最大值, 从而得到参数的最大似然估计值为 11.2 分布类型的假设 由观测数据来确定随机变量的分布类型----对观测数据进行适当的预处理, 然后根据预处理的结果对分布类型进行假设。 1. 连续分布类型的假设 预处理方法有三种, 即点统计法、直方图法及概率图法。 (1) 点统计法： 基于连续分布的变异系数特征来进行分布类型的假设。变异系数的定义是: 其中Var与E分别为分布的方差与均值。 点统计法对观测数据进行如下预处理: 则的似然估计为: 然后根据值并参照各类分布的变异数据来假设观测数据的分布类型------粗 (2) 直方图法 将观测数据的取值范围分成个断开的相邻区间, , 每个区间宽度相等, 记为 。 对任意,设为第个区间上观测点的个数, 记 定义函数 做出的直方图, 再将该图与基本理论分布的密度函数图形进行比较(先忽略位置及比例尺的差别), 观察何种分布与的图形类似, 则可假设观测数据服从该类型分布， 在实际使用时, 可能需要增加一些其值特别大或特别小的观测数据，以便与理论分布进行比较。 使用直方图法的困难在于如何确定区间长度。太大, 将丢失信息, 太小, 则观测数据中的噪声滤除得不够(一般观测数据中总是存在一定的噪声)。 (3) 概率图法 直方图法：将观测数据的直方图与理论分布的密度函数进行比较 概率图法：将观测数据定义成一个实验分布函数, 然后将它与理论分布函数进行比较后再进行假设 设观测数据共有个取值(, 因为可能存在取值相同的观测点), 分别记为(1), (2), …, , 实验分布函定义为: 其中表示小于或等于的观测数据的个数, 且。 为了避免由有限个观测数据得到的实验分布函数值等于1, 对上式可略加修正, 可采用下式来定义: 概率图法采用所谓“分位点”比较法: 定义：分布函数的分位点为： 设, 则称为的分位点。 如果与都是分布函数, 分别取不同的值, 相应得到不同的(), 若与是相同的分布函数, 则由()形成的轨迹是斜率为45?的直线。 反过来说，与按相同的一组值求得各自的分位点, 在平面上确定的轨迹, 若该轨迹是一条斜率为45?的直线, 则可以确认与的分布是相同的。 为了假设的分布类型, 可取的分位点为, 分别对应的值为, 然后从基本理论分布中选择一种, 按分别求得其分位点