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数据的多流形结构分析 我们已经进入了一个信息爆炸的时代，海量的数据不断产生，迫切需要对这些大数据是局部具有欧氏空间性质的空间欧氏空间就是流形最简单的实例一个高维欧氏空间中的低维流形假设，流形学习，并求出相应的嵌入映射。 (a) (b) (c) (d) 图1 3. 请解决以下三个实际应用中的子空间聚类问题，数据见附件三 （a）受实际条件的制约，在工业测量中往往需要非接触测量的方式，视觉重建是一类重要的非接触测量方法。特征提取是视觉重建的一个关键环节，如图2（a）所示，其中十字便是特征提取环节中处理得到的，十字上的点的位置信息已经提取出来，为了确定十字的中心位置，一个可行的方法是先将十字中的点按照 “横”和“竖”分两类。请使用适当的方法将图2（a）中十字上的点分成两类。 （b）运动分割是将视频中有着不同运动的物体分开，是动态场景的理解和重构中是不可缺少的一步。基于特征点轨迹的方法是重要的一类运动分割方法，该方法首先利用标准的追踪方法提取视频中不同运动物体的特征点轨迹，之后把场景中不同运动对应的不同特征点轨迹分割出来。已经有文献指出同一运动的特征点轨迹在同一个线性流形上。图2（b）显示了视频中的一帧，有三个不同运动的特征点轨迹被提取出来保存在了3b.mat文件中，请使用适当方法将这些特征点轨迹分成三类。 (a) (b) 图2 （c）3c.mat中的数据为两个人在不同光照下的人脸图像共20幅（X变量的每一列为拉成向量的一幅人脸图像），请将这20幅图像分成两类。 4. 请作答如下两个实际应用中的多流形聚类问题 图3(a)分别显示了圆台的点云，请将点按照其所在的面分开(即圆台按照圆台的顶、底、侧面分成三类)。 图3(b)是机器工件外部边缘轮廓的图像，请将轮廓线中不同的直线和圆弧分类，类数自定。 (a) (b) 图3 参考文献 [1] R. Basri and D. W. Jacobs. Lambertian reflectance and linear subspaces. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 25(2):218–233, 2003. [2] R. Vidal. Subspace clustering. IEEE Signal Processing Magazine, 28(2):52–68, 2011. [3] J. Shi and J. Malik, “Normalized cuts and image segmentation,” IEEE Transactions Pattern Analysis Machine Intelligence, 22(8):888–905, 2000. [4] G. Liu, Z. Lin, S. Yan, J. Sun, Y. Yu, and Y. Ma. Robust recovery of subspace structures by low-rank representation. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 35(1):171–184, 2013. [5] E. Elhamifar and R. Vidal. Sparse subspace clustering: Algorithm, theory, and applications. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 35(11):2765–2781, 2013. [6] Y. Wang, Y. Jiang, Y. Wu, and Z. Zhou. Spectral clustering on multiple manifolds. IEEE Transactions on Neural Networks, 22(7):1149–1161, 2011. [7] B. Cheng, G. Liu, J. Wang, Z. Huang, and S. Yan, Multi-task low rank affinity pursuit for image segmentation, ICCV, 2011. [8] C. Lang, G. Liu, J. Yu, and S. Yan,