非线性方程求根的数值方法(04数本,林一明).doc

非线性方程求根的数值方法 林一明 （广西民族大学数计学院04数本1班, 南宁 530006） 摘 要: 本文讨论非线性方程的数值解，阐述了二分法、三分法、冒泡法、简单迭代法和牛顿迭代法原理。并对非线性方程的数值例子进行了近似计算，并比较了它们的收敛速度。 关键词: 非线性方程；二分法；迭代法；收敛性 Numerical Method of the Root for Solving Nonlinear Equation Lin Yiming (College of Mathematics and Computer Science,Guangxi University for Nationalities, Nanning 530006) Abstract: In this paper, we study numerical solution of the nonlinear equation, the procedures of dichotomy, rule of thirds, bubble method, the simple iterate method and the Newton iterate method are expounded, And has carried on the approximate calculation to the nonlinear equation, and compare their convergence rate. Keywords: nonlinear equation；dichotomy；iteration method；convergence 0 引 言 代数方程求根问题是个古老的数学问题，在19世纪，理论上就证明了n≥5次一般代数方程不能用代数公式求解，超越方程和工程及科学技术中的许多问题都难以求得精确解，这些方程都归类为非线性方程。因此，需要研究用数值方法求得满足一定代数精度的非线性方程的近似解。当给定非线性方程范围内的某个根，而根的粗略位置已从问题的物理背景或应用其它方法获知，要求取非线性方程精度范围内的根。 本文着重讨论非线性方程的数值解法，给出二分法、三分法、冒泡法、简单迭代法和牛顿迭代法的基本原理，并对非线性方程的数值例子进行了近似计算。 1 二分法 每次把的零点所在小区间收缩一半，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法[3]。 设在上连续，假定，取中点，检查的符号，若，则就是方程的一个根；若，记为，为，则得有根区间；若，记为，为，则得有根区间，它的长度为区间的一半。对区间，令，再用同样的方法，可得新的有根区间，如此反复进行下去，其中每一个区间长度都是前一区间长度的一半，有 这就是方程的根，而即为方程的近似根，且有估计误差 其方法的matlab程序(见附录1)。二分法具有计算简单，易于程序实现的优点。 2 三分法 三分法是二分法的推广，只是比二分法复杂一些，但求解速度比二分法快。 设在上连续，假定，并且对有，，取， ，检查,的符号，若,就是方程的一个根，或者,就是方程的一个根。若，记为，为，则得到方程的有根区间；若,记为，为，则得到方程的有根区间；若，记为，为，则得到方程的有根区间；新区间的长度为区间的。如此反复进行下去，其中每一个区间是前一个区间长度的，且有 而为方程一个实根的近似值，且它满足关系式: ，这表明方程近似根的绝对误差小于最初区间长度的分之一，三分法Matlab程序实现过程见附录2. 3 冒泡法 三分法和二分法其求出方程的近似解的个数比较多后才能得到比较精确的解,冒泡法也是二分法的进一步的推广,求解非线性方程的一种相对简单、容易编程，而且收敛速度比二分法和三分法要快的一种数值算法。冒泡法实现的具体过程如下。 定理1 设函数在闭区间上存在二阶连续导数且满足条件： (1)在区间上保号, (2), (3), 则冒泡法产生的的唯一解. 证明 由条件（1），（2）知，函数f(x)在区间上为单调连续函数，因此在区间[a,b]上至多有一个根，再有条件（3）在内至少存在一个根，因此，在区间内存在唯一解. 冒泡法的基本思想: 设函数在区间上符合定理1的条件，存在唯一的解x,把区间分成10等分，x分别取，, ，……，，然后计算的值，用比较法找出绝对值最小的，并确定，若，则为方程的根，若，记，，则得有根区间,方程根的区间长度为原来的，即，再用同样的方法，可得到新的根区间,如此进行下去，其中每一个区间是前一个区间的，有 ， (k?为常数属于1至9这10个数字中的某一个数)，作为方程的一个实根的近似值，且它满足关系式 (k?为常数属于1至9这10个数字中的某一个数)上式表明方程近似值的绝对误差小于最初区间长度的分之一