有理分式函数的图象及性质.docVIP

有理分式函数的图象及性质 【知识要点】 1．函数的图象和性质： （1）定义域：（2）值域：（3）单调性：单调区间为（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点（5）奇偶性：当时为奇函数。（6）图象：如图所示。 2．函数的图象和性质：（1）定义域：（2）值域：（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间上是增函数；在区间上是减函数（5）渐近线：以轴和直线为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数的图象和性质：（1）定义域：（2）值域：R（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间和上是增函数。（5）渐近线：以轴和直线为渐近线（6）图象：如图所示。 4．函数的图象（如图所示）和性质（略）： 【例题精讲】 1．函数的图象是 （ ） A B C D 2．函数的反函数是 （ ） 3．若函数的图象关于直线对称，则的值是 （ ） 4．若函数存在反函数，则实数的取值范围为 （ ） 5．不等式的解集为 （ ）6．已知函数的图象如图所示，则的大小关系为 （ ） 7．若正数、满足则的取值范围是_____ 。 8．函数的值域是 。 9．若函数的反函数的图象关于点成中心对称，则实数 。 10．函数的反函数的定义域是 。 11．不等式的解集是 。 12．函数的值域是 。 13．设。 （1）当a＝2的最小值； （2）当0＜a＜1的单调性，并写出的最小值。 14．设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性． BABDAD 7． 8． 9．3 10． 11．或 12． 13．解：（1）a＝2f（x）＝x＝ x＋1＋－1≥2－1，等号在x＋1＝x＝－1（∵x∈[0，＋∞））时成立． （2）当0＜a＜1x1，x2 ∈[0，＋∞），x1＜x2 ． 则f（x2）－ f（x1）＝x2－x1）＋－＝（x2－x1）（1－）． ∵ 0＜a＜1＜1，1－＞0， 又 x2－x1＞0，于是f（x2）－ f（x1）＝x2－x1）（1－）＞0， f（x2）＞ f（x1），f（x）是增函数． 在x＝0f（x）的最小值是a． 14．解：函数的定义域为 在内是减函数，在内也是减函数 证明在内是减函数取，且，那么∵ ∴ 即在内是减函数，同理可证在内是减函数。 浅 说 函 数 的 对 称 性 函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。 函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴