自考慨率论讲议 (4).docVIP

第四章　随机变量的数字特征随机变量的概率分布完整地描述了随机变量统计规律，但是在实际问题中求得随机变量的概率分布并不容易，而且对某些问题来说，只需知道它的某些特征，我们把刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征。本章主要研究随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等数字特征。　　4.1 随机变量的期望　　4.1.1 离散型随机变量的期望　　引例 10人参加考试，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平均分。　　【答疑编　　解：平均分为：　　　　从本例看：平均分并不等于60、80、100的平均值80。这是由于60分出现的机会多于100分，上面方法出现了60分出现的频率多。100分的频率小，能正确计算平均值。 　　 定义　若X的分布律为 P（X=xi）=pi，i=1，2… 　　 　　 当级数绝对收敛时（即收敛） 　　 就说是离散型随机变量X的期望。记作EX，即 　　　　说明：（1）若X取值为有限个x1，x2，…，xn　　则　　　（2）若X取值为可列无限多个x1，x2，…，xn…　　则　　　这时才要求无穷级数绝对收敛。　　很明显，X的期望EX体现随机变量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。　　【例4-1】设随机变量X的分布律为　　　　求E（X）　　解 E（X）=（-1）×0.3+0×0.2+1×0.5=0.2　　【例4-2】甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X，Y，它们的分布律分别为　　　　　　试比较他们成绩的好坏。　　【答疑编　　解 我们分别计算X和Y的数学期望：　　 EX=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8（分）。　　 EY=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1（分）。　　这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。　　4.1.2 下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望。　　1.两点分布　　随机变量X的分布律为　　　　其中0＜p＜1，有 　 EX=0×（1-p）+1×p=p。 　　2.二项分布　　设X～B（n,p），即　　 　 可以证明它的期望EX=np 　　二项分布的数学期望np，有着明显的概率意义。比如掷硬币试验，设出现正面概率若进行100次试验，则可以“期望”出现次正面，这正是期望这一名称的来由。　　3.泊松分布　　设其分布律为　　 　　 则X数学期望为EX= 　　小结上面的结果，有下面公式 分布 EX X～（0,1）X～B（n,p）X～P（λ） pnp 　　今后在上面三种情形下，期望EX不必用定义计算，可以直接套用公式。　　例如 若 X～B（10，0.8），则EX=10×0.8=8　　 若 X～P（3），则EX=3。　　4.1.3　下面介绍离散型随机变量函数的数学期望。 　　 定理4-1 设离散型随机变量X的分布律为 　　 P{X=xk}=pk，k=1，2，…。 　　 令Y=g（X），若级数绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为 　　 　　 特别情形 　　 　　 　　 　　【例4-5】设随机变量X的分布律为　　　　令Y=2X+1，求E（Y）。　　【答疑编　　解　　EY=（2×（-1）+1）×0.3+（2×0+1）×0.2+（2×1+1）×0.4+（2×2+1）×0.1　　 =（-1）×0.3+1×0.2+3×0.4+5×0.1=1.6。　　【例4-6】设随机变量X的分布律为　　　　且Y=X2，求EY。　　【答疑编　　解　　　 　　　 =（-1）2×0.3+02×0.2+0.52×0.1+12×0.1+22×0.3　　　　　　=0.3+0.025+0.1+1.2=1.625。　　　　4.1.4 连续型随机变量的期望　　对于连续型随机变量的期望，形式上可类似于离散型随机变量的期望给予定义，只需将和式中的xi改变x,pi改变为f（x）dx（其中f（x）为连续型随机变量的概率密度函数）以及和号“Σ”演变为积分号“∫”即可。 　　 定义4-2 设连续型随机变量X的概率密度为f（x），若广义积分绝对 收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为EX，即 　　　　【例4-7】设随机变量X的概率密度为 　　　　求E（X）。　　【答疑编　　解　　　　　　　 　　【例4-8】设随机变量X的概率密度函数为 　　　　求E（X）。　　【答疑编　　解 因为f（x）只在有限区间上不为零，且在该区间上为连续函数，所