稳定性判别方法.docVIP

§ 5.3 稳定性判别方法 1. 线性定常系统的稳定性判别 定理5.6 设 . (5.11) 则 (i)平衡点稳定? A的所有特征值的实部非正, 且实部为零的特征值对应着一阶约当块； (ii)平衡点渐近稳定? A的所有特征值实部为负. 证 (i)因是线性系统,只需证明平衡点的稳定性. 设 . (注:与能控标准变换不同) 其中为约当块，则 . 而的非零元素形如 或或 约当块阶数减1. 如, 则 若. 则?有界； 若且对应一阶约当块?也有界. 故有K 0， 使 . 其中 对，取. 当时. 有 , 故稳定； (ii)若全为, 则全?渐近稳定. 例5.1 设系统矩阵分别如下： . 试判别的稳定性. 解 (1) 由, 得(2重), 不稳定. (2) 由, 得和, 因对应一阶约当块?是稳定的. (3) 由,得?渐近稳定. 若, 常用Hurwitz判别法(介绍). 定理5.7 常系数n次代数方程 的所有根的具有负实部?下列不等式同时成立： . 其中. 例5.2 验证系统矩阵为 时, 是渐近稳定的. 证 由 . 得 及 由Hurwitz判别法?所有特征值有负实部?渐近稳定. 对非线性系统, 常用李雅普诺夫判别法. 2. 稳定性的李雅普诺夫判别法(介绍) (1)李雅普诺夫第一法(一阶近似) 设n维非线性系统为 , (5.12) 且n维向量函数对有连续偏导. 将在处展成泰勒级数, 得 . (5.13) 其中为的高阶项, 而 称为雅可比矩阵. 令和, 得线性化方程： . (5.14) 李雅普诺夫给出下述结论： (i) 若A的所有特征值实部为负, 则系统在平衡点是渐近稳定的, 且与无关； (ii) 若A的特征值中有一个具有正实部, 则系统在平衡点是不稳定的； (iii)若A的特征值中有一个实部为零, 则系统在平衡点的稳定性与有关. 例5.3 设非线性系统为 试判平衡点的稳定性. 解 由处的雅可比矩阵为 , 得 ? 在处不稳定. (2)李雅普诺夫第二法(虚构”能量”函数) 若系统能量随时而衰, 则稳定. 如 ? ? 这是一个在处稳定的系统. 作一个”能量”函数 ,(正定) 则 (势能, 动能) ?单调递减趋于0(因) 这样的就称为李雅普诺夫函数. 对一般系统, 设法构造如此标量函数. 下面给出一般标量函数的正定、负定等概念. 设标量函数且. 若对任意, 有 (i) , 则称是正定的(半正定的)； (ii) , 则称是负定的(半负定的)； (iii) 有、也有, 则称是不定的. 根据系统方程, 常取为的二次型函数, 即 . P是实对称矩阵, 此时的正、负定性与P一致. 而P的正定性由其主子行列式为正负来判定 如 是半负定的； 是半正定的. 下面介绍主要结果. 定理5.8 设系统为 . (5.15) 是其平衡点. 若存在标量函数(具有连续的一阶偏导数), 满足 (i) 是正定的； (ii)沿着方程(5.15)计算的是半负定的. 则平衡点是稳定的. 定理5.9 设系统为(5.15), 平衡点为. 若有标量函数(具有连续的一阶偏导), 满足 (i) 是正定的； (ii) 沿着方程(5.15)计算的是负定的；或者 (ii’) 沿着方程(5.15)计算的是半负定的, 且对来说,不恒为零, 则平衡点是渐近稳定的. 进一步, 若当时, 有, 则平衡点是全局渐近稳定的. 注 对(ii’)的说明. 由于为半负定, 所以在时, 或许有, 可能会出现下图5.5的两种情形： 定理5.10 系统方程、平衡点同定理5.9中假设相同.若标量函数(具有连续的一阶偏导).满足 (i) 是正定的； (ii)沿着状态方程(5.15)计算的也是正定的； 则平衡点是不稳定的. 注 上述定理条件是充分的. 例5.4 设非线性系统为 . 试分析稳定性. 解 由, 得是其唯一的平衡点. 构造 . 是正定的. 对关于t求导, 得 . 代入状态方程得 ?负定 ?为一李雅普诺夫函数, 且当时, 有 ?为全局渐近稳定(而且是一致的). 对线性定常系统, 有 定理5.11 设线性定常系统为 , 则平衡点是渐近稳定的?? 对任意正定阵, 矩阵方程 (李雅普诺夫方程) (5.16) 有唯一正定阵解P. 由于必要性证明涉及过多知识, 故只证充分性. 证(充分性) 由, 满足(5.16), 作 . 对求导且将系统方程代入, 得 . ?负定,且当时,有, ?平衡点为全局渐近稳定(且一致). (注: 实用中, 渐近稳定为主要特性) 例5.5 设系统为 . 试分析的稳定性. 解 设 . 代入矩阵方程(5.16)式, 得 . 展开并令对应元素