线性系统理论复习大纲.docVIP

Chapter 2 Mathematical Descriptions of Systems 定义2.1 一个系统在时刻的状态是一组信息的组合，它和系统的输入一起可唯一确定系统的输出 系统数学描述小结 系统类型 内部描述 外部描述 分布、线性 集中、线性 分布、线性、定常 集中、线性、定常 Chapter 4 State-space Solutions and Realizations 线性定常系统状态方程的解 连续状态方程按采样时间T离散化 定义4.1 设P为非奇异实矩阵，任等价变换，那么方程与原方程代数等价。（其中，） 定理 4.1 两个线性定常系统状态方程为零状态态等价（具有相同的传递矩阵）的充分必要条件 定义4.2 设是的任一基本矩阵，那么称该方程的状态转移矩阵，它同时也是方程关于初始条件的唯一解。 线性时变系统状态方程的解 其中 定理4.3传递矩阵可实现的充分必要条件是该矩阵是正则有理矩阵。 时变系统等价状态方程 考虑时变系统状态方程 ，引入时变矩阵，令，那么方程与原方程代数等价，且，该等价变换过程为 定理4.3存在一个等价变换使，其中是任一常矩阵（只需令即可）。 若需为零阵，则应选择，此时方程简化为 定义4.3 在上述等价变换中，若满足非奇异、连续的条件，且和有界，那么该变换是李雅普诺夫等价变换。 定理 4.4 若线性时变系统状态方程中，， 定理 4.5 一个脉冲响应矩阵可实现的充分必要条件是能够分解成 其中，M，N和D分别为矩阵，该脉冲响应矩阵的维实现是 Chapter 5 Stability 单变量系统BIBO稳定性： 定理5.1 一个SISO系统是BIBO稳定的充要条件是绝对可积： （其中M为常数） 定理5.2 如果一个脉冲响应函数为的系统是BIBO稳定的，那么当时： 1. 由激励的稳态响应为。 2. 由激励的稳态响应为 定理5.3 若一个SISO系统的传递函数为正则有理函数，该系统是BIBO稳定的充要条件是的每个极点都具有负实部。 定理5.D1 一个SISO离散时间系统是BIBO稳定的充要条件是绝对可加： （其中M为常数） 定理5.D2 如果一个脉冲响应函数为的离散时间系统是BIBO稳定的，那么当时： 1. 由激励的稳态响应为。 2. 由激励的稳态响应为 定理5.3 若一个离散SISO系统的传递函数为正则有理函数，该系统是BIBO稳定的充要条件是的每个极点都具有小于1的模。 多变量系统BIBO稳定性： 定理5.M1若一个多变量系统的脉冲响应矩阵为，该系统是BIBO稳定的充要条件是每一个绝对可积： 定理5.M3 若一个多变量系统的传递矩阵为正则有理函数，该系统是BIBO稳定的充要条件是每一个的每个极点都具有负实部。 定理5.MD1若一个多变量离散时间系统的脉冲响应序列矩阵为，该系统是BIBO稳定的充要条件是每一个绝对可积。 定理5.M3 若一个多变量离散时系统的传递矩阵为正则有理函数，该系统是BIBO稳定的充要条件是每一个的每个极点都具有小于1的模。 内部稳定性： 定义5.1 一个线性系统的零输入响应称为限界稳定或李雅普诺夫意义下的稳定是指每一个有限状态初态所引起的响应是有界的。该系统称为渐近稳定是指每一个有限状态初态所引起的响应是有界且当时趋于零。 定理 5.4 （1）方程限界稳定的充要条件是A的所有特征值具有零实部或负实部，并且零实部的特征值是最小多项式的单根。 （2）方程渐近稳定的充要条件是A的所有特征值具有实部。 定理 5.D4 （1）方程限界稳定的充要条件是A的所有特征值的模小于或等于1，并且模为1的特征值是最小多项式的单根。 （2）方程渐近稳定的充要条件是A的所有特征值具有小于1的模。 定理 5.5 A的所有特征值均有负实部的充要条件是：给定任意正定对称阵N，李雅普诺夫方程 具有唯一的解M，且M为正定、对称阵。 推论 5.5 一个维矩阵A的所有特征值均有负实部的充要条件是：给定任一矩阵，其中是扁矩阵，并有，即列满秩，则 方程具有唯一的解M，且M为正定、对称阵。 定理 5.6 若A的所有特征值均有负实部，则方程对任意N均有唯一解 定