辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生对“万箭穿心”图像的探究.docVIP

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 对“万箭穿心”图像的探究 引言 《廊桥遗梦》里有一句经典对白——爱情并不遵从我们的想象，爱情的神秘在于它的纯洁与纯粹。? 这是一个以数学作为纽带的爱情、悲情。?1956年，斯德哥尔摩的街头，一个穷苦的数学家邂逅了一位公主，由于两个人对数学的热爱， 相爱了。这原本是一段浪漫的由理性而带来的感性之爱，但由于两人身份悬殊，事情不久就传到国王耳中，国王气急败坏，断绝两人的来往。这位男子痛苦不已，给公主写了12封信，却都被国王截下了。时值黑死病横扫欧洲，这位数学家不幸染上了重病，在弥留之际，写下了第13封情书，也是最后一封信?。这最后一封信上没有写一句话，只有一个方程：。?? ? ?国王看不懂，把全城的数学家召集到皇宫，但是没有人能解开这个函数式。他不忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐，便把这封信给了她。拿到信的公主激动地找来纸和笔，着手把方程图形画了出来，一颗心形图案出现在眼前，公主不禁流下感动的泪水，这条曲线就是著名的“心形线”。?? ?? 可惜斯人已去，只留下了一段遗憾。 那位数学家是笛卡尔，这位公主是瑞典王室的克里斯丁。 在心中充满了对两人的同情的同时，一个想法跃然心中，为何不做一个有关心形线的课题呢？ 正文 首先要借此普及一个概念，很多人都将此图像称为函数，这是不正确的，函数反映的是x与y的映射，换言之，一个x只能对应一个y值，而心形图像实质上是由两个函数组成的，因此严格意义上来讲，它并不是一个函数。 现在要正式绘制这个图像了，经过资料的查询发现，其方程为x2+(y-3√x2)2=1,经过一定的变化就可以转换成我所想要的两个函数了： 于是我便开始了初步的绘制，首先按键5进入图形模块，在其中输入两个函数，再按键（由于原图过大，所以通过缩放的功能将原图进行了一定的缩小处理，缩放组图如下）： 缩放功能的具体操作： 第一步 第二步 “左右键移动，确定缩小的程度 第三步 （确定完成，就搞定了图形计算器中缩放的功能） 接着我又想到如何能将图形的缩放在函数中体现出来，我们高一的时候学过三角函数，任意的正弦函数都可以表示为：,其中ω具有缩放图像的功能，而且ω越小，整个图像就会在x轴上延伸，于是为何不尝试将x替换为（x/k），而且既然图像能在x轴上进行放缩，于y轴亦然，y亦可由（y/k）代替。由于计算器中本身设置的应变量为y，所以直接将K乘到右面，即可替代（y/k）（其实应变量完全可以由其他变量来代替，但由于计算器GIF对可控变量个数仅一个的限制，只能全用K来均匀体现图像放缩的过程）。 先进入计算机动态图模块，将带有可控变量K融于原先函数之中，输入完函数后在按键，便会出现以下这个画面： 就如上面组图所示，要对K（动态变量）设定，让我们拿起计算器，按键 （START表示初始值，END表示终止值，STEP表示步长）。 出于计算器屏幕的限制,为了能清晰地绘制出图像，经过多次尝试之后发现，初始值取1，终止值取4，步长取1，能较好显示图像。（GIF，即动态图模块，绘制图像的大小其实是与图像模块息息相关的，因此除非返回图像模块对图像的大小进行重设，一般而言，可以通过对控制变量K的设定，或是函数截距的控制。） 接下来就是对速度控制功能的介绍。按键可得 为了探究的方便，一般选择单步执行，当然也可根据个人的喜好选择慢速、常速抑或快速。 现在可以正式绘制图像了，按键回到原先界面， 键以及几分钟的等待之后，拭目以待的图像就跃然屏幕了： 若探究就此结束，本身也没有多少意义，只不过是花点时间，空手尝试着计算器的各项功能的操作，于是我在想怎么能让其充满乐趣，让我能够更能享受整个过程呢？探究的本身就是要不断地提出问题，不断地思考，哪怕是再小的想法，也要勇于尝试，哪怕别人看上去再幼稚，但是探究得到的结果，哪怕小的可怜，也会让自己欣喜万分。更何况，探究过程中的各种滋味远比结果重要得多！享受着这漂亮的图像，我又开始了进一步的思考：爱往往和爱神丘比特相系，若是能将丘比特之箭赋予此心，不是更贴切这个图像祖先笛卡尔对公主用数学联结的爱吗？ 可以确定的是，一个箭头至少要三个函数组成，一个函数是箭杆，另两个是箭头，而且这个函数都要有定义域，为了加快探究的效率，把变量K通过一定的计算后放入“箭头图像”的定义域中，即可使箭头能随“心形图像”的放缩而同步放缩。 再配上“心形图像” ‘ 由于一开始并没有找到影响绘图原点位置的因素，因此对构成“心形图像”的两个函数以及构成“箭头图像”的三个函数都进行一定的调整，函数表达式如下： 而且由于“一箭穿心”图像显得似乎不是很匀